Uma placa de madeira 12 in por 12 in por 1 in, é exposta ao ar seco. As extremidades são inicialmente seladas para limitar o processo de secagem para as faces planas mais largas da placa. O liquido interno difunde para a superfície, onde é evaporada pela passagem da corrente de ar. O conteúdo de umidade sobre a superfície permanece constante a 15% em peso. Após 10 horas de secagem o conteúdo de umidade do centro diminui de 50 para 32% em peso Se o coeficiente de transferência de massa convectivo pode ser considerado suficientemente elevado, a resistência relativa m é aproximada para zero, calcule:
O tempo necessário para diminuir o conteúdo de umidade do centro de um cubo de 1 ft de aresta feito com a mesma madeira, de 50 para 32 % em peso se todas as 6 faces são usadas. Assumir que o coeficiente de difusão efetiva calculado em (a) é constante através do cubo.

Passo 1

Beleza, então o que a questão pede? Temos uma placa de madeira fininha (12 in × 12 in × 1 in) que seca só pelas faces largas, e em 10 h o teor de umidade do centro caiu de 50 % pra 32 %, com umidade de superfície constante em 15 % e convecção “infinitamente rápida” (resistência m ≃ 0).
Conteúdo da matéria: difusão interna de massa (Lei de Fick, segunda lei) e soluções analíticas para geometria de placa infinita (slab) e cubo.
O que vamos precisar:
  • Calcular o coeficiente de difusão efetiva a partir dos dados da placa (geometria 1D, “infinite slab”) usando a solução de Fick para o teor no centro.
  • Usar esse na solução para um cubo (paredes expostas em todas as 6 faces) e achar o tempo pra cair de 50 % a 32 %.

Passo 2

(1) Definir a razão de umidade adimensional (Moisture Ratio) no centro:
MR ;=; M(t)-MsMi - Ms,,
onde
MR10h =0,32 - 0,150,50 - 0,15 =0,170,35approx0,486 , MR(t)approx 4pi,exp!l(-,Drm eff,pi^2,t4,L^2r) , 0,486 = 4pi,exp!l(-Drm eff,pi^2,104,(0,5)^2r) .
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exp!l(-Drm eff,pi^2cdot104cdot0,25r) =0,486,pi4 ;Rightarrow; -Drm eff,pi^2cdot101 =ln!l(0,486pi4r)
(2) Para placa (slab) de espessura total 1 in, define-se meio-espaço Drm eff =-110,pi^2, ln!l(0,486pi4r) approx0,0098;in^2/h in.
A solução de Fick (termo dominante, “first term”) para o centro do slab é:
Substituindo h e :
Isolando :

Passo 3

Agora o cubo de aresta 1 ft = 12 in (meio-aresta MR(t)approx 8pi^3, exp!l[-,Drm eff,pi^2,tl(tfrac1L^2+tfrac1L^2+tfrac1L^2r)r] =8pi^3,exp!l(-,3,Drm eff,pi^2,tL^2r) in), usando todas as 6 faces.
Na geometria de cubo, a solução de Fick no centro (termo dominante) fica:
0,486 = 8pi^3,exp!l(-,3,Drm eff,pi^2,t6^2r)
Queremos a mesma MR = 0,486 (de 50 % a 32 % com superfície a 15 %), então:
exp!l(-3,Drm eff,pi^2,t36r) =0,486,pi^38 ;Rightarrow; -3,Drm eff,pi^2,t36 =ln!l(0,486pi^38r)
Isolando t =-363,Drm eff,pi^2 ln!l(0,486pi^38r) :
t approx -363cdot0,0098cdotpi^2 ln!l(1,884r) approx78,6;h
Substituindo in²/h:

Resposta

O tempo necessário é aproximadamente 79 horas.

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