Uma placa de madeira 12 in por 12 in por 1 in, é exposta ao ar seco. As extremidades são inicialmente seladas para limitar o processo de secagem para as faces planas mais largas da placa. O liquido interno difunde para a superfície, onde é evaporada pela passagem da corrente de ar. O conteúdo de umidade sobre a superfície permanece constante a 15% em peso. Após 10 horas de secagem o conteúdo de umidade do centro diminui de 50 para 32% em peso Se o coeficiente de transferência de massa convectivo pode ser considerado suficientemente elevado, a resistência relativa m é aproximada para zero, calcule:
a) O coeficiente de difusão efetiva.
b) O conteúdo de umidade se as seis faces são usadas para o mesmo período de secagem.
c) O tempo necessário para diminuir o conteúdo de umidade do centro de um cubo de 1 ft de aresta feito com a mesma madeira, de 50 para 32 % em peso se todas as 6 faces são usadas. Assumir que o coeficiente de difusão efetiva calculado em (a) é constante através do cubo.

Passo 1

Beleza, então o exercício é sobre secagem de uma placa de madeira de 12″×12″×1″, com as faces de 1″ de espessura expostas ao ar (as extremidades de 1″ foram seladas). A gente tem difusão de umidade unidimensional no sentido da espessura, e pode assumir que a superfície está sempre na umidade de equilíbrio (coeficiente convectivo muito grande).
Conteúdo: transferência de massa por difusão em estado transiente, usando a solução em série para uma chapa infinita (unidimensional).
O que vamos precisar:
– Definir o teor de umidade inicial e final no centro
– Usar a fórmula do “slab” para o ponto central, aproximando só o primeiro termo da série
– Resolver para o coeficiente de difusão efetiva (parte a)
– Repetir raciocínio para 6 faces (parte b) e para um cubo de 1 ft de aresta (parte c)

Passo 2

Parte (a): calcular MR ;=;Xt - XsX0 - Xs ;=;0,32 - 0,150,50 - 0,15 ;=;0,4857
  1. Definimos a razão de umidade adimensional no centro (moisture ratio, MR):
MRapprox 4pi,exp!l(-pi^2,De,t4,L^2r)
  1. Para uma chapa de espessura total exp!l(-pi^2,De,t4,L^2r) =pi4,MR Longrightarrow -pi^2,De,t4,L^2 =ln!l(pi4,MRr) in, a meia-espessura é De =-4,L^2pi^2,t; ln!l(pi4,times0,4857r) in. A solução aproximada (só primeiro termo De =-4,(0,5)^2pi^2times10 lnl(0,7854times0,4857r) approx0,0098;in^2/h ) é
  1. Isolando :
  1. Substituindo in e h:

Passo 3

Parte (b): secagem por 6 faces
As outras faces (12″×1″ e 12″×12″) estão muito longe do centro ( Xtapprox32%, in) e, em 10 h, a difusão por lá é desprezível. Então o escoamento continua dominado pela espessura de 1 in e o ponto central cai no mesmo valor calculado em (a):

Passo 4

Parte ©: cubo de 1 ft de aresta, todas as 6 faces
Aqui a meia-espessura é pi^2,De,t4,Lrm cubo^2 =;-ln!l(tfracpi4,MRr) Longrightarrow t =;-4,Lrm cubo^2pi^2,De, ln!l(pi4times0,4857r) in, e a eq. de chapa (duas faces) continua valendo para cada direção dominante. Mantendo só o primeiro termo e igualando a mesma MR de 0{,}4857, temos
t approx4times36pi^2times0,0098 ;[-ln(0,7854times0,4857)] ;approx;1,44times10^3;h ;approx;60;dias
Substituindo in e in /h:

Resposta

a)
b) .
c) (≈ 60 dias).

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