Uma tensão tem uma amplitude máxima de 20 V sendo a sua frequência de 50 Hz . Supondo que a onda se inicia no seu máximo positivo, determine o valor da tensão 0,03 \mathrm{~s} após o seu inicio.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor da tensão 0,03\\ \mathrm{s} após o início da onda, sabendo que a tensão tem amplitude máxima 20\\ \mathrm{V}, frequência 50\\ \mathrm{Hz} e que a onda se inicia no seu máximo positivo.
Informações dadas:
  • amplitude máxima (valor de pico): V_m = 20\\ \mathrm{V}
  • frequência: f = 50\\ \mathrm{Hz}
  • instante de interesse: t = 0,03\\ \mathrm{s}
  • condição inicial: a onda começa em seu máximo positivo no instante t=0.
O que se pede:
  • calcular o valor da tensão v(t) no instante t = 0,03\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Entendendo a forma matemática de uma tensão senoidal e o significado de cada símbolo.
Uma forma padrão de representar uma tensão senoidal é:
v(t)=V_m\cos(\omega t+\varphi),
onde:
  • v(t) é a tensão no tempo t;
  • V_m é a amplitude (valor de pico) da tensão;
  • \omega é a frequência angular, medida em rad/s;
  • \varphi é a defasagem inicial (fase) em radianos;
  • t é o tempo em segundos.
Explicação curta e amigável: a função cosseno \cos(\cdot) tem valor máximo +1 quando o argumento é 0. Como a onda “se inicia no seu máximo positivo” em t=0, isso significa que podemos escolher \varphi=0 e usar a forma com cosseno sem deslocamento de fase. Ou seja, a tensão inicia em v(0)=V_m.

Passo 3

Calcular a frequência angular \omega e o período T para ter intuição sobre a variação temporal.
A relação entre frequência e período é:
T=\frac{1}{f}.
Substituindo f=50\\ \mathrm{Hz}:
T=\frac{1}{50}=0,02\\ \mathrm{s}.
Isto significa que cada ciclo completo dura 0,02\\ \mathrm{s}.
A frequência angular é
\omega=2\pi f.
Substituindo:
\omega=2\pi\cdot50=100\pi\\ \text{rad/s}.
Comentário intuitivo: como T=0,02\\ \mathrm{s}, o tempo t=0,03\\ \mathrm{s} corresponde a 0,03/0,02=1{,}5 períodos — ou seja, um ciclo completo mais metade de outro ciclo.

Passo 4

Escrever a expressão de v(t) para este problema, com as variáveis já conhecidas.
Como a onda inicia no máximo positivo temos \varphi=0. Assim:
v(t)=V_m\cos(\omega t).
Substituindo V_m=20\\ \mathrm{V} e \omega=100\pi\\ \text{rad/s}:
v(t)=20\cos\bigl(100\pi\,t\bigr)\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Avaliar v(t) em t=0,03\\ \mathrm{s}.
Calcular o argumento do cosseno:
\omega t = 100\pi\cdot 0,03 = 3\pi\\ \text{rad}.
Agora calcular o cosseno:
\cos(3\pi)=\cos(\pi+2\pi)=\cos(\pi)=-1.
Portanto:
v(0,03)=20\cdot\cos(3\pi)=20\cdot(-1)=-20\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Interpretação física e checagem rápida.
Como t=0,03\\ \mathrm{s} é 1{,}5 períodos, a forma senoidal teve um ciclo inteiro (voltou ao máximo positivo) e meia volta adicional — meia volta leva o máximo positivo a máximo negativo, por isso encontramos o valor de pico negativo -20\\ \mathrm{V}. Isso confirma a coerência do resultado.
Força aí — essa receita (escrever v(t)=V_m\cos(\omega t+\varphi), determinar \varphi pela condição inicial, calcular \omega e avaliar) funciona para qualquer exercício parecido na prova.

Resposta

-20\\ \mathrm{V}

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