Determine k para que se tenha, simultaneamente, sen theta=raiz-2 k+3k e cos theta=1k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o valor de k que satisfaz duas equações ao mesmo tempo:
sin theta = raiz-2k + 3k e cos theta = 1k
Isso envolve trigonometria, especialmente as relações entre seno, cosseno e a identidade pitagórica. Vamos precisar usar a relação sin^2 theta + cos^2 theta = 1 para resolver esse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica básica:
sin^2 theta + cos^2 theta = 1
Isso significa que o quadrado do seno de um ângulo mais o quadrado do cosseno desse mesmo ângulo sempre dá 1.

Passo 3

Agora, substituímos as expressões dadas para sin theta e cos theta na identidade:
( raiz-2k + 3k )^2 + ( 1k )^2 = 1
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 4

Calculando os quadrados das frações:
(-2k + 3)k^2 + 1k^2 = 1
Note que (raiz-2k + 3)^2 = -2k + 3.

Passo 5

Agora, somamos as duas frações:
-2k + 3 + 1k^2 = 1
Simplificando o numerador:
-2k + 4k^2 = 1

Passo 6

Para resolver a equação, multiplicamos ambos os lados por k^2 para eliminar o denominador:
-2k + 4 = k^2
Rearranjando os termos:
k^2 + 2k - 4 = 0

Passo 7

Agora, temos uma equação quadrática:
k^2 + 2k - 4 = 0
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
k = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 1 , b = 2 e c = -4 .

Passo 8

Calculando o discriminante ( De<a ):
De<a = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(1)(-4) = 4 + 16 = 20
Como De<a > 0 , teremos duas soluções reais.

Passo 9

Aplicando a fórmula de Bhaskara:
k = -2 pm raiz202 = -2 pm 2raiz52 = -1 pm raiz5
Portanto, as soluções são:
k = -1 + raiz5 e k = -1 - raiz5

Resposta

Os valores de k que satisfazem as duas equações são:
k = -1 + raiz5 e k = -1 - raiz5

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