Determine
para que se tenha, simultaneamente,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o valor de
que satisfaz duas equações ao mesmo tempo:
Isso envolve trigonometria, especialmente as relações entre seno, cosseno e a identidade pitagórica. Vamos precisar usar a relação
para resolver esse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica básica:
Isso significa que o quadrado do seno de um ângulo mais o quadrado do cosseno desse mesmo ângulo sempre dá 1.
Passo 3
Agora, substituímos as expressões dadas para
e
na identidade:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 4
Calculando os quadrados das frações:
Note que
.
Passo 5
Agora, somamos as duas frações:
Simplificando o numerador:
Passo 6
Para resolver a equação, multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Rearranjando os termos:
Passo 7
Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Passo 8
Calculando o discriminante (
):
Como
, teremos duas soluções reais.
Passo 9
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as soluções são:
Resposta
Os valores de
que satisfazem as duas equações são: