Simplifique a expressão
(sen alpha+cos alpha)^2-4 sen alpha cos alpha(sen alpha-cos alpha)^2.

Passo 1

Estamos olhando para uma expressão que envolve seno e cosseno, duas funções trigonométricas bem conhecidas. A tarefa é simplificar a seguinte expressão:
(sin alpha + cos alpha)^2 - 4 sin alpha cos alpha(sin alpha - cos alpha)^2
Para resolver isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas básicas e propriedades de álgebra para simplificar cada parte passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o numerador. Sabemos que (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Aplicando isso a (sin alpha + cos alpha)^2, temos:
(sin alpha + cos alpha)^2 = sin^2 alpha + 2 sin alpha cos alpha + cos^2 alpha

Passo 3

Agora, substituímos essa expansão de volta no numerador da expressão original:
sin^2 alpha + 2 sin alpha cos alpha + cos^2 alpha - 4 sin alpha cos alpha

Passo 4

Vamos simplificar os termos semelhantes no numerador. Observamos que 2 sin alpha cos alpha - 4 sin alpha cos alpha resulta em -2 sin alpha cos alpha. Assim, o numerador fica:
sin^2 alpha + cos^2 alpha - 2 sin alpha cos alpha

Passo 5

Lembramos da identidade trigonométrica fundamental sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1. Substituindo isso, temos:
1 - 2 sin alpha cos alpha

Passo 6

Agora, vamos olhar para o denominador da expressão original, que é (sin alpha - cos alpha)^2. Vamos expandir esse quadrado usando a mesma fórmula (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2:
(sin alpha - cos alpha)^2 = sin^2 alpha - 2 sin alpha cos alpha + cos^2 alpha

Passo 7

Novamente, aplicamos a identidade sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1 ao denominador:
1 - 2 sin alpha cos alpha

Passo 8

Agora nossa expressão simplificada fica assim:
1 - 2 sin alpha cos alpha1 - 2 sin alpha cos alpha

Passo 9

Qualquer número (diferente de zero) dividido por ele mesmo é igual a 1. Portanto:
1

Resposta

A expressão simplificada é igual a 1.

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