Determine a tensão de cisalhamento máxima para o problema abaixo. \underset{\sim}{\tau}=\left[\begin{array}{ccc}15 & 0 & 0 \\\\ 0 & -20 & 0 \\\\ 0 & 0 & 30\end{array}\right]_{x y z} plano: z+a y=b \operatorname{com} a qualquer (ou seja, qualquer plano paralelo ao eixo x ).
Passo 1
O enunciado dá a tensã0 (tensor de tensão) em coordenadas x,y,z e pede a tensão de cisalhamento máxima para qualquer plano da família
z + a y = b,
com a qualquer real (ou seja, qualquer plano paralelo ao eixo x). Dados relevantes:
e a normal (não normalizada) ao plano é \mathbf{n}=(0,a,1). A tarefa é: para essa família de planos (varrendo a\in\mathbb{R}), encontrar o valor máximo da tensão de cisalhamento atuando no plano.]
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicando devagar): a tração (vetor tensão) \mathbf{t} numa face cuja normal unitária é \hat{\mathbf{n}} é dada pela multiplicação do tensor de tensões pela normal:
Esse vetor \mathbf{t} pode ser decomposto em componente normal (tensão normal) t_n e componente tangencial (tensão de cisalhamento) \mathbf{t}_s. A magnitude da tensão de cisalhamento é
Zerando f'(a)=0 dá a=1 (além de a=-1, mas estamos em a\ge0). O sinal de f' muda de positivo para negativo em a=1, portanto é máximo local e global em a\ge0.
Verificação rápida (numérica): para a=1 temos \hat{\mathbf{n}}=(0,1,1)/\sqrt{2}, \mathbf{t}=(0,-20/\sqrt{2},30/\sqrt{2}). A componente normal calculada antes dá t_n=5 e então \tau_s=\sqrt{\|\mathbf{t}\|^2-t_n^2}=\sqrt{650-25}=25, consistência confirmada.