Determine a tensão de cisalhamento máxima para o problema abaixo.
\underset{\sim}{\tau}=\left[\begin{array}{ccc}15 & 0 & 0 \\\\ 0 & -20 & 0 \\\\ 0 & 0 & 30\end{array}\right]_{x y z} plano: z+a y=b \operatorname{com} a qualquer (ou seja, qualquer plano paralelo ao eixo x ).

Passo 1

O enunciado dá a tensã0 (tensor de tensão) em coordenadas x,y,z e pede a tensão de cisalhamento máxima para qualquer plano da família
z + a y = b,
com a qualquer real (ou seja, qualquer plano paralelo ao eixo x). Dados relevantes:
\underset{\sim}{\tau} = \begin{pmatrix}15 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & -20 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 30\end{pmatrix}_{xyz},
e a normal (não normalizada) ao plano é \mathbf{n}=(0,a,1). A tarefa é: para essa família de planos (varrendo a\in\mathbb{R}), encontrar o valor máximo da tensão de cisalhamento atuando no plano.]

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicando devagar): a tração (vetor tensão) \mathbf{t} numa face cuja normal unitária é \hat{\mathbf{n}} é dada pela multiplicação do tensor de tensões pela normal:
\mathbf{t}=\underset{\sim}{\tau}\,\hat{\mathbf{n}}.
Esse vetor \mathbf{t} pode ser decomposto em componente normal (tensão normal) t_n e componente tangencial (tensão de cisalhamento) \mathbf{t}_s. A magnitude da tensão de cisalhamento é
\tau_s=\|\mathbf{t}_s\|=\sqrt{\|\mathbf{t}\|^2 - t_n^2},
porque \mathbf{t} é ortogonal à decomposição \mathbf{t}=t_n\hat{\mathbf{n}}+\mathbf{t}_s.

Passo 3

Encontrar a normal unitária \hat{\mathbf{n}}. A normal não normalizada é \mathbf{n}=(0,a,1). O seu módulo é
\|\mathbf{n}\|=\sqrt{0^2+a^2+1^2}=\sqrt{a^2+1},
portanto
\hat{\mathbf{n}}=\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}(0,a,1).

Passo 4

Calcular a tração \mathbf{t}=\underset{\sim}{\tau}\,\hat{\mathbf{n}}. Multiplicando o tensor diagonal pelos componentes de \hat{\mathbf{n}} obtemos:
\mathbf{t}=\begin{pmatrix}15 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & -20 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 30\end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\begin{pmatrix}0\\[4pt] a\\[4pt] 1\end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\begin{pmatrix}0\\[4pt] -20a\\[4pt] 30\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular a componente normal t_n. Pelo produto escalar,
t_n=\mathbf{t}\cdot\hat{\mathbf{n}}.
Substituindo \mathbf{t} e \hat{\mathbf{n}}:
t_n=\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\begin{pmatrix}0\\[4pt] -20a\\[4pt] 30\end{pmatrix}\cdot\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\begin{pmatrix}0\\[4pt] a\\[4pt] 1\end{pmatrix} =\frac{-20a^2+30}{a^2+1}.]

Passo 6

Calcular \|\mathbf{t}\|^2 (necessário para obter a parte tangencial):
\|\mathbf{t}\|^2=\left(\frac{0}{\sqrt{a^2+1}}\right)^2+\left(\frac{-20a}{\sqrt{a^2+1}}\right)^2+\left(\frac{30}{\sqrt{a^2+1}}\right)^2 =\frac{400a^2+900}{a^2+1}.

Passo 7

Calcular \tau_s^2=\|\mathbf{t}\|^2 - t_n^2. Substituindo as expressões:
\tau_s^2=\frac{400a^2+900}{a^2+1} - \left(\frac{30-20a^2}{a^2+1}\right)^2.
Para simplificar colocamos tudo sobre o mesmo denominador (a^2+1)^2. Fazendo as multiplicações e subtrações (mostro os termos principais):
(400a^2+900)(a^2+1)=400a^4+1300a^2+900,
(30-20a^2)^2=400a^4-1200a^2+900.
Subtraindo:
400a^4+1300a^2+900 - (400a^4-1200a^2+900)=2500a^2.
Logo
\tau_s^2=\frac{2500a^2}{(a^2+1)^2}.

Passo 8

Extraindo a raiz positiva (já que magnitude é não negativa),
\tau_s=\frac{50\,|a|}{a^2+1}.
Observação: a simetria em a faz com que possamos considerar apenas a\ge 0 para procurar o máximo.

Passo 9

Procurar o máximo de f(a)=\dfrac{50a}{a^2+1} para a\ge 0. Derivando:
f'(a)=50\frac{(a^2+1)-2a^2}{(a^2+1)^2}=50\frac{1-a^2}{(a^2+1)^2}.
Zerando f'(a)=0 a=1 (além de a=-1, mas estamos em a\ge0). O sinal de f' muda de positivo para negativo em a=1, portanto é máximo local e global em a\ge0.

Passo 10

Avaliar o máximo em a=1:
\tau_{s,\max}=f(1)=\frac{50\cdot 1}{1^2+1}=\frac{50}{2}=25.
Verificação rápida (numérica): para a=1 temos \hat{\mathbf{n}}=(0,1,1)/\sqrt{2}, \mathbf{t}=(0,-20/\sqrt{2},30/\sqrt{2}). A componente normal calculada antes dá t_n=5 e então \tau_s=\sqrt{\|\mathbf{t}\|^2-t_n^2}=\sqrt{650-25}=25, consistência confirmada.

Resposta

25

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