Encontre as tensões e direções principais para o estado tensional dado abaixo.
\underset{\sim}{\tau}=\left[\begin{array}{lll}3 & 5 & 8 \\\\ 5 & 1 & 0 \\\\ 8 & 0 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz tensão simétrica
\underset{\sim}{\tau}=\begin{pmatrix}3 & 5 & 8 \\[4pt] 5 & 1 & 0 \\[4pt] 8 & 0 & 2\end{pmatrix}
e pede as tensões principais (valores próprios) e as direções principais (autovetores) correspondentes.
Informações importantes dadas:
\;\underset{\sim}{\tau} está totalmente especificada pelos seus 9 componentes (matriz 3\times3).
O que se pede: encontrar todos os autovalores \lambda e, para cada \lambda, um autovetor unitário \mathbf{n} tal que
\underset{\sim}{\tau}\,\mathbf{n}=\lambda\,\mathbf{n}.]

Passo 2

O que são tensões e direções principais (aula rápida e intuitiva).
  • Tensões principais são os autovalores \lambda da matriz tensão; representam as intensidades normais quando a tensão age em direções onde não há cisalhamento.
  • Direções principais são os autovetores \mathbf{n} (normalizados) associados a cada \lambda; formam, no caso de matriz simétrica, um conjunto ortonormal (vetores mutuamente perpendiculares de norma 1).
    Por que usar autovalores/autovetores? Porque para uma matriz simétrica real existe uma base ortonormal que diagonaliza a matriz; na prova isso se traduz em resolver \det(\underset{\sim}{\tau}-\lambda \mathbf{I})=0 e depois achar vetores não-nulos que resolvem (\underset{\sim}{\tau}-\lambda \mathbf{I})\mathbf{n}=\mathbf{0}.

Passo 3

Montar o polinômio característico. Escrevemos
\det\big(\underset{\sim}{\tau}-\lambda \mathbf{I}\big)= \det\begin{pmatrix}3-\lambda & 5 & 8 \\[4pt] 5 & 1-\lambda & 0 \\[4pt] 8 & 0 & 2-\lambda\end{pmatrix}=0.
Calculamos o determinante por expansão (mostro as contas):
\begin{aligned} \det &= (3-\lambda)\big((1-\lambda)(2-\lambda)-0\cdot0\big) \\\ &\quad -5\big(5(2-\lambda)-0\cdot8\big) +8\big(5\cdot0-(1-\lambda)8\big). \end{aligned}
Continuando:
(3-\lambda)((1-\lambda)(2-\lambda)) -25(2-\lambda) -64(1-\lambda).]

Passo 4

Expandindo e simplificando (passo a passo):
(1-\lambda)(2-\lambda)=2-3\lambda+\lambda^2.
(3-\lambda)(2-3\lambda+\lambda^2)=6-11\lambda+6\lambda^2-\lambda^3.
Agora subtraímos os outros termos:
6-11\lambda+6\lambda^2-\lambda^3 -25(2-\lambda)-64(1-\lambda).
=6-11\lambda+6\lambda^2-\lambda^3 -50+25\lambda -64 +64\lambda.
Agrupando termos:
-\lambda^3 +6\lambda^2 +78\lambda -108=0.
Multiplicando por -1 para ficar na forma usual:
\lambda^3 -6\lambda^2 -78\lambda +108 = 0.

Passo 5

Resolver o polinômio cúbico. Neste ponto podemos tentar raízes racionais (divisores de 108), mas nenhuma dá zero exato. Como a matriz é simétrica, sabemos que todas as raízes são reais; usaremos procedimento numérico simples (bisseção/Newton) e fatoração sucessiva para obter as três raízes com boa precisão. Primeiro encontramos uma raiz aproximada entre 1{,}28 e 1{,}29; afinando com Newton obtemos
\lambda_2 \approx 1{,}28483.

Passo 6

Fatoramos o polinômio dividindo por (\lambda-\lambda_2). A divisão (síntese) dá o quadrático
\lambda^2 -4{,}71517\lambda -84{,}0599 = 0.
Resolvendo a fórmula quadrática:
\lambda = \frac{4{,}71517 \pm \sqrt{4{,}71517^2 +4\cdot84{,}0599}}{2}.
Calculando o discriminante e as raízes obtemos as outras duas tensões:
\lambda_1 \approx 11{,}820585,\qquad \lambda_3 \approx -7{,}105415.
(Verificação rápida: soma das raízes \approx 11{,}820585+1{,}28483-7{,}105415\approx6, que é o traço \mathrm{tr}(\underset{\sim}{\tau})=3+1+2=6; produto \approx -108, que é \det(\underset{\sim}{\tau}). Tudo consistente.)

Passo 7

Ordenando de maior para menor (convencionais em tensões principais):
\sigma_1\approx 11{,}8206,\qquad \sigma_2\approx 1{,}2848,\qquad \sigma_3\approx -7{,}1054.
Agora precisamos das direções principais (autovetores) normalizados associados a cada tensão.

Passo 8

Encontrar autovetor para \lambda_1\approx 11{,}820585\). Resolvemos \((\underset{\sim}{\tau}-\lambda_1\mathbf{I})\mathbf{n}=\mathbf{0}\): as equações numéricas são \[\begin{cases} -8{,}820585\,x +5\,y +8\,z =0,\\[4pt] 5\,x -10{,}820585\,y +0\,z =0,\\[4pt] 8\,x +0\,y -9{,}820585\,z =0. \end{cases}
Da segunda equação x=(10{,}820585/5)\,y\approx 2{,}164117\,y\]. Da terceira \(z=(8/9{,}820585)\,x\approx0{,}814624\,x. Em termos de y obtemos a proporção
x:y:z \approx 2{,}164117 : 1 : 1{,}763015.
Normalizando (dividindo pelo comprimento) obtemos o autovetor unitário
\mathbf{n}_1\approx \begin{pmatrix}0{,}7296\\[2pt]0{,}3369\\[2pt]0{,}5947\end{pmatrix}.]

Passo 9

Encontrar autovetor para \lambda_2\approx 1{,}28483\). Resolvendo \((\underset{\sim}{\tau}-\lambda_2\mathbf{I})\mathbf{n}=\mathbf{0}\) obtemos numericamente: \[\begin{cases} 1{,}71517\,x +5\,y +8\,z =0,\\[4pt] 5\,x -0{,}28483\,y =0,\\[4pt] 8\,x +0\,y +0{,}71517\,z =0. \end{cases}
Da segunda equação x=(0{,}28483/5)\,y\approx0{,}056966\,y\]. Da terceira \(z=-(8/0{,}71517)\,x\approx-11{,}188\,x. Em termos de y:
x:y:z \approx 0{,}056966 : 1 : -0{,}6370.
Normalizando,
\mathbf{n}_2\approx \begin{pmatrix}0{,}0480\\[2pt]0{,}8426\\[2pt]-0{,}5367\end{pmatrix}.]

Passo 10

Encontrar autovetor para \lambda_3\approx -7{,}105415\). Resolvendo \((\underset{\sim}{\tau}-\lambda_3\mathbf{I})\mathbf{n}=\mathbf{0}\) numericamente: \[\begin{cases} 10{,}105415\,x +5\,y +8\,z =0,\\[4pt] 5\,x +8{,}105415\,y =0,\\[4pt] 8\,x +0\,y +9{,}105415\,z =0. \end{cases}
Da segunda equação x=-(8{,}105415/5)\,y\approx -1{,}621083\,y\]. Da terceira \(z=-(8/9{,}105415)\,x\approx -0{,}8786\,x. Em termos de y:
x:y:z \approx -1{,}621083 : 1 : 1{,}4240.
Normalizando,
\mathbf{n}_3\approx \begin{pmatrix}-0{,}6816\\[2pt]0{,}4202\\[2pt]0{,}5986\end{pmatrix}.
(Observação: os sinais dos autovetores podem ser invertidos sem problema; vetores opostos representam a mesma direção física. Verifique que \mathbf{n}_1,\mathbf{n}_2,\mathbf{n}_3 são ortogonais numericamente, como esperado para matriz simétrica.)]

Resposta

\sigma_1\approx 11{,}8206,\quad \mathbf{n}_1\approx \begin{pmatrix}0{,}7296\\[2pt]0{,}3369\\[2pt]0{,}5947\end{pmatrix}
\sigma_2\approx 1{,}2848,\quad \mathbf{n}_2\approx \begin{pmatrix}0{,}0480\\[2pt]0{,}8426\\[2pt]-0{,}5367\end{pmatrix}
\sigma_3\approx -7{,}1054,\quad \mathbf{n}_3\approx \begin{pmatrix}-0{,}6816\\[2pt]0{,}4202\\[2pt]0{,}5986\end{pmatrix}]

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