Encontre as tensões e direções principais para o estado tensional dado abaixo. \underset{\sim}{\tau}=\left[\begin{array}{lll}3 & 5 & 8 \\\\ 5 & 1 & 0 \\\\ 8 & 0 & 2\end{array}\right]
e pede as tensões principais (valores próprios) e as direções principais (autovetores) correspondentes.
Informações importantes dadas: \;\underset{\sim}{\tau} está totalmente especificada pelos seus 9 componentes (matriz 3\times3).
O que se pede: encontrar todos os autovalores \lambda e, para cada \lambda, um autovetor unitário \mathbf{n} tal que
O que são tensões e direções principais (aula rápida e intuitiva).
Tensões principais são os autovalores \lambda da matriz tensão; representam as intensidades normais quando a tensão age em direções onde não há cisalhamento.
Direções principais são os autovetores \mathbf{n} (normalizados) associados a cada \lambda; formam, no caso de matriz simétrica, um conjunto ortonormal (vetores mutuamente perpendiculares de norma 1).
Por que usar autovalores/autovetores? Porque para uma matriz simétrica real existe uma base ortonormal que diagonaliza a matriz; na prova isso se traduz em resolver \det(\underset{\sim}{\tau}-\lambda \mathbf{I})=0 e depois achar vetores não-nulos que resolvem (\underset{\sim}{\tau}-\lambda \mathbf{I})\mathbf{n}=\mathbf{0}.
Resolver o polinômio cúbico. Neste ponto podemos tentar raízes racionais (divisores de 108), mas nenhuma dá zero exato. Como a matriz é simétrica, sabemos que todas as raízes são reais; usaremos procedimento numérico simples (bisseção/Newton) e fatoração sucessiva para obter as três raízes com boa precisão. Primeiro encontramos uma raiz aproximada entre 1{,}28 e 1{,}29; afinando com Newton obtemos
\lambda_2 \approx 1{,}28483.
Passo 6
Fatoramos o polinômio dividindo por (\lambda-\lambda_2). A divisão (síntese) dá o quadrático
(Verificação rápida: soma das raízes \approx 11{,}820585+1{,}28483-7{,}105415\approx6, que é o traço \mathrm{tr}(\underset{\sim}{\tau})=3+1+2=6; produto \approx -108, que é \det(\underset{\sim}{\tau}). Tudo consistente.)
Passo 7
Ordenando de maior para menor (convencionais em tensões principais):
Agora precisamos das direções principais (autovetores) normalizados associados a cada tensão.
Passo 8
Encontrar autovetor para \lambda_1\approx 11{,}820585\). Resolvemos \((\underset{\sim}{\tau}-\lambda_1\mathbf{I})\mathbf{n}=\mathbf{0}\):
as equações numéricas são
\[\begin{cases} -8{,}820585\,x +5\,y +8\,z =0,\\[4pt] 5\,x -10{,}820585\,y +0\,z =0,\\[4pt] 8\,x +0\,y -9{,}820585\,z =0. \end{cases}
Da segunda equação x=(10{,}820585/5)\,y\approx 2{,}164117\,y\]. Da terceira \(z=(8/9{,}820585)\,x\approx0{,}814624\,x. Em termos de y obtemos a proporção
x:y:z \approx 2{,}164117 : 1 : 1{,}763015.
Normalizando (dividindo pelo comprimento) obtemos o autovetor unitário
(Observação: os sinais dos autovetores podem ser invertidos sem problema; vetores opostos representam a mesma direção física. Verifique que \mathbf{n}_1,\mathbf{n}_2,\mathbf{n}_3 são ortogonais numericamente, como esperado para matriz simétrica.)]