Determine a tensão tangencial média (em Pa) sobre o fundo de uma galeria de águas pluviais de diâmetro D, escoando uma certa vazão em regime permanente uniforme, a meia seção, isto é, com altura d’água igual a metade do diâmetro, com declividade de fundo igual \mathrm{I}_{\mathrm{o}}. Observe que, pela definição de raio hidráulico, a linha d’água em contato com a atmosfera não faz parte do perímetro molhado e que, se o escoamento é permanente e uniforme a perda de carga unitária \mathrm{J}(\mathrm{m} / \mathrm{m}) é igual à declividade de fundo \mathrm{I}_{\mathrm{o}}(\mathrm{m} / \mathrm{m}). (valor: 1,0 )
Considere os seguintes dados:
Diâmetro, \mathrm{em} \mathrm{mm}:=780

Passo 1

Temos uma galeria circular de diâmetro \,D, escoando água em regime permanente uniforme com altura de fluxo igual a metade do diâmetro d'=D/2 e declividade de fundo I_{o}. Queremos a tensão tangencial média no perímetro molhado, sabendo que em escoamento uniforme a perda de carga unitária J é igual a I_{o}. Usaremos a relação
\tau_{0}=\gamma\,R_{h}\,I_{o}
onde \gamma é o peso específico da água e R_{h} o raio hidráulico.

Passo 2

Para profundidade igual a D/2, a seção molhada é um semicírculo de raio R=D/2. Logo,
A=\tfrac12\pi R^{2}=\tfrac{\pi D^{2}}{8},
P=\text{comprimento de arco molhado}=\pi R=\tfrac{\pi D}{2}.
Assim o raio hidráulico é
R_{h}=\frac{A}{P}=\frac{\pi D^{2}/8}{\pi D/2}=\frac{D}{4}.

Passo 3

Substituindo em \tau_{0}=\gamma\,R_{h}\,I_{o}, temos
\tau_{0}=\gamma\;\frac{D}{4}\;I_{o}.
Adotando para a água \gamma=9810\\ \mathrm{N/m^{3}}, fica
\tau_{0}=9810\;\frac{D}{4}\;I_{o}.

Passo 4

Convertendo D=780\\ \mathrm{mm}=0{,}78\\ \mathrm{m}, o raio hidráulico vale
R_{h}=\frac{0{,}78}{4}=0{,}195\\ \mathrm{m}.
Logo
\tau_{0}=9810\times0{,}195\times I_{o}\approx1913\;I_{o}\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

\displaystyle \tau_{0}\approx1913\,I_{o}\\ \mathrm{Pa}.

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