Considere o campo de velocidade:
\vec{V}=(u, v, w)=(2 x+y) \hat{i}+(x-3 y) \hat{j}+\left(z^{2}-t\right) \hat{k} .
(a)
Verifique se o escoamento é incompressível.
(b)
Calcule o vetor aceleração no ponto (1,2,0), t=1.
(c)
Determine a taxa de rotação no mesmo ponto.

Passo 1

O enunciado fornece o campo de velocidade
\displaystyle \vec{V}(x,y,z,t)=(u,v,w)=(2x+y,\;x-3y,\;z^2-t)
e pede:
(a) verificar se o escoamento é incompressível;
(b) calcular o vetor aceleração em (1,2,0) no instante t=1;
(c) determinar a taxa de rotação no mesmo ponto.

Passo 2

Para escoamento incompressível precisamos que
\nabla\cdot\vec{V} =\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial v}{\partial y} +\frac{\partial w}{\partial z}
seja zero. Calculando cada derivada:
\partial u/\partial x=2,
\partial v/\partial y=-3,
\partial w/\partial z=2z.
Logo
\nabla\cdot\vec{V}=2-3+2z=-1+2z,
que não é identicamente zero, salvo em z=\tfrac12. Portanto o escoamento não é incompressível.

Passo 3

O vetor aceleração é dado pela derivada material
\mathbf{a} =\frac{\partial\vec{V}}{\partial t} +(\vec{V}\cdot\nabla)\,\vec{V}.
Em componentes:
a_x=\partial_t u+u\partial_x u+v\partial_y u+w\partial_z u =0+u\cdot2+v\cdot1+w\cdot0=2u+v,
a_y=\partial_t v+u\partial_x v+v\partial_y v+w\partial_z v =0+u\cdot1+v\cdot(-3)+w\cdot0=u-3v,
a_z=\partial_t w+u\partial_x w+v\partial_y w+w\partial_z w =-1+u\cdot0+v\cdot0+w\cdot2z=-1+2zw.
No ponto (1,2,0), t=1 temos
u=2\cdot1+2=4,\;v=1-3\cdot2=-5,\;w=0^2-1=-1,\;z=0.
Assim
a_x=2\cdot4+(-5)=3,
a_y=4-3\cdot(-5)=19,
a_z=-1+2\cdot0\cdot(-1)=-1.

Passo 4

A taxa de rotação (vorticidade) é
\displaystyle \vec{\omega}=\nabla\times\vec{V}.
Calculando:
\omega_x=\partial_y w-\partial_z v=0-0=0,
\omega_y=\partial_z u-\partial_x w=0-0=0,
\omega_z=\partial_x v-\partial_y u=1-1=0.
Logo \vec{\omega}=(0,0,0).

Resposta

(a) Não é incompressível, pois \nabla\cdot\vec{V}=-1+2z\neq0.
(b) \mathbf{a}(1,2,0,1)=(3,\,19,\,-1).
(c) \vec{\omega}(1,2,0)=(0,\,0,\,0).

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