Determine a tensão tangencial média (em Pa) sobre o fundo de uma galeria de águas pluviais de diâmetro D, escoando uma certa vazão em regime permanente uniforme, a meia seção, isto é, com altura d’água igual a metade do diâmetro, com declividade de fundo igual \mathrm{I}_{\mathrm{o}}. Observe que, pela definição de raio hidráulico, a linha d’água em contato com a atmosfera não faz parte do perímetro molhado e que, se o escoamento é permanente e uniforme a perda de carga unitária \mathrm{J}(\mathrm{m} / \mathrm{m}) é igual à declividade de fundo \mathrm{I}_{\mathrm{o}}(\mathrm{m} / \mathrm{m}). (valor: 1,0 )
Considere os seguintes dados:
\mathrm{I}_{\mathrm{o}}=0,0010 \mathrm{~m} / \mathrm{m}, \rho_{\text {água }}=10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mathrm{g}=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}á;

Passo 1

Estamos tratando de um escoamento permanente e uniforme em meia seção de um duto circular (altura de água d' = D/2). Nesse regime, a tensão de cisalhamento média no fundo \tau está relacionada à força peso da coluna de água sobre o perímetro molhado e à declividade do canal. Para resolver vamos usar:
– A definição de raio hidráulico R_h.
– A relação geral em escoamento uniforme \tau = \rho\,g\,R_h\,I_0, onde I_0 é a declividade de fundo.

Passo 2

Escrevemos a fórmula da tensão de cisalhamento média no leito em escoamento uniforme:
\tau = \rho\,g\,R_h\,I_0
Aqui \rho é a massa específica da água, g a aceleração da gravidade, I_0 a declividade (que equivale à perda de carga unitária) e R_h o raio hidráulico da seção molhada.

Passo 3

Calculamos o raio hidráulico R_h = \dfrac{A}{P} para a meia seção de um círculo:
– Área molhada
A = \frac{\pi\,D^2}{8}
– Perímetro molhado (apenas a semicircunferência, pois a linha d’água em contato com o ar não conta)
P = \frac{\pi\,D}{2}
Logo
R_h = \frac{A}{P} = \frac{\dfrac{\pi\,D^2}{8}}{\dfrac{\pi\,D}{2}} = \frac{D}{4}

Passo 4

Substituindo R_h = D/4 em \tau = \rho\,g\,R_h\,I_0 e usando os valores \rho=10^3\,\mathrm{kg/m^3}, g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2} e I_0=0{,}0010:
\tau = 10^3 \times 9{,}81 \times \frac{D}{4} \times 0{,}0010 = \Bigl(\frac{10^3\times9{,}81\times0{,}0010}{4}\Bigr)\,D = 2{,}4525\,D \;\text{(Pa, com \(D\) em metros)}.

Resposta

\tau = \rho\,g\,\frac{D}{4}\,I_0 \quad\Longrightarrow\quad \tau \approx 2{,}45\,D\;\text{Pa}.

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