Um modelo reduzido de avião é testado em um túnel de vento. O protótipo tem L_{p}=20 \mathrm{~m}, V_{p}=250 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, \rho_{p}=1.225 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \mu_{p}=1.81 \times 10^{-5} \mathrm{~Pa} \cdot \mathrm{~s} . \mathrm{O} modelo tem L_{m}=0.5 \mathrm{~m}, \rho_{m}=1.2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \mu_{m}=1.8 \times 10^{-5} \mathrm{~Pa} \cdot \mathrm{~s}.
Explique as dificuldades práticas para alcançar similaridade completa.

Passo 1

O enunciado fornece as dimensões, velocidades, densidades e viscosidades dinâmicas do protótipo e do modelo:
Protótipo: L_{p}=20 m, V_{p}=250 m/s, \rho_{p}=1{,}225 kg/m³, \mu_{p}=1{,}81\times10^{-5} Pa·s
Modelo: L_{m}=0{,}5 m, \rho_{m}=1{,}2 kg/m³, \mu_{m}=1{,}8\times10^{-5} Pa·s
Conteúdo: similaridade dinâmica em escoamentos compressíveis, que exige igualdade dos números de Reynolds e de Mach entre modelo e protótipo.

Passo 2

Para similaridade completa precisamos satisfazer simultaneamente
\mathrm{Re}_p = \mathrm{Re}_m \quad\text{e}\quad \mathrm{Ma}_p = \mathrm{Ma}_m
onde
\mathrm{Re}=\frac{\rho\,V\,L}{\mu} \quad\text{e}\quad \mathrm{Ma}=\frac{V}{a}
com a velocidade do som (≈ 340 m/s em condições padrão).

Passo 3

Calculemos o número de Reynolds do protótipo:
\mathrm{Re}_p = \frac{1{,}225 \times 250 \times 20}{1{,}81\times10^{-5}} \approx 3,38\times10^{8}.
Impondo \mathrm{Re}_m=\mathrm{Re}_p para o modelo,
V_m = \frac{\mathrm{Re}_p\,\mu_m}{\rho_m\,L_m} \approx \frac{3,38\times10^{8}\times1{,}8\times10^{-5}}{1{,}2\times0{,}5} \approx 1,02\times10^{4}\,\text{m/s}.

Passo 4

Para igualar Mach, primeiro
\mathrm{Ma}_p = \frac{250}{340}\approx0{,}74.
Logo, para o modelo ter \mathrm{Ma}_m=0{,}74 basta
V_m\approx0{,}74\times340\approx250\;\text{m/s},
que gera
\mathrm{Re}_m = \frac{1{,}2\times250\times0{,}5}{1{,}8\times10^{-5}} \approx8,3\times10^{6},
muito abaixo de \mathrm{Re}_p.

Passo 5

A velocidade requerida para igualar \mathrm{Re} ( \sim10^{4} m/s) é inviável por limitações de potência, aquecimento extremo e formação de ondas de choque fortíssimas. Por outro lado, a velocidade que iguala \mathrm{Ma} (≈ 250 m/s) resulta num \mathrm{Re}_m muito menor, mudando o regime de escoamento. Em prática, empregam-se túneis criogênicos ou de alta pressão para aumentar \rho/\mu e dispositivos de rugosidade para forçar transição turbulenta, mas nunca se alcança simultaneamente igualdade perfeita de ambos os números adimensionais.

Resposta

Não é possível obter similaridade completa: a velocidade exigida para igualar Reynolds é absurdamente alta (ordem de 10^4 m/s), enquanto a velocidade que iguala Mach deixa \mathrm{Re}_m muito baixo. Utilizam-se túneis criogênicos, pressurizados ou indução de rugosidade para obter apenas similaridade parcial.

Exercícios relacionados