Determine o tensor de inércia do cubo em um sistema de coordenadas com origem no centro de massa O.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar o tensor de inércia de um cubo em um sistema de coordenadas cujo centro de massa está na origem, o ponto O. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de mecânica clássica, especificamente sobre o tensor de inércia e como calculá-lo para objetos geométricos simples como o cubo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o tensor de inércia. Ele é uma matriz que descreve como a massa de um objeto está distribuída em relação aos eixos de rotação. Basicamente, ele nos ajuda a entender como o objeto vai resistir a rotações ao redor de diferentes eixos.
Para um cubo homogêneo (com densidade uniforme), o tensor de inércia em relação ao centro de massa pode ser calculado usando simetria e fórmulas conhecidas.

Passo 3

Vamos considerar um cubo de lado $ a $ e massa $ m $. Como o cubo é simétrico em relação aos três eixos coordenados (x, y, z), os elementos fora da diagonal do tensor de inércia serão zero, pois não há torques cruzados. Portanto, o tensor de inércia será uma matriz diagonal.

Passo 4

A fórmula geral para o tensor de inércia de um cubo homogêneo em relação ao centro de massa é:
I = 16 m a^2 & 0 & 0 0 & 16 m a^2 & 0 0 & 0 & 16 m a^2
Essa fórmula vem da integração da distribuição de massa do cubo em relação aos eixos coordenados.

Passo 5

Vamos entender como chegamos a esse resultado. Para um cubo, o momento de inércia em relação a qualquer um dos eixos principais (x, y ou z) é o mesmo devido à simetria. O momento de inércia $ I_x $ em relação ao eixo x, por exemplo, é dado por:
Ix
Como o cubo é homogêneo, podemos substituir a massa por densidade e integrar sobre o volume do cubo.

Passo 6

Calculando a integral para $ I_x $:
Ix
Onde $ \rho = \frac{m}{a^3} $ é a densidade do cubo.
Resolvendo essa integral, encontramos:
Ix = rho integral-a/2^a/2 integral-a/2^a/2 integral-a/2^a/2 (y^2 + z^2) , dx , dy , dz
O mesmo vale para $ I_y $ e $ I_z $, dada a simetria do cubo.

Passo 7

Com isso, o tensor de inércia do cubo em coordenadas centradas no centro de massa O fica:
I = 16 m a^2 & 0 & 0 0 & 16 m a^2 & 0 0 & 0 & 16 m a^2

Resposta

O tensor de inércia do cubo, com lado $ a $ e massa $ m $, em um sistema de coordenadas centrado no seu centro de massa O, é dado por:
a

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