Uma roda parte do repouso com uma aceleração angular dada por alpha(t)=(6,0 rad/s4)t2. Após completar 10 revoluções, a velocidade angular da roda é
a) 63 rad / s.
b) 75 rad / s.
c) 89 rad / s.
d) 210 rad / s.
e) 315 rad / s.
f) nenhuma das alternativas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos conta que uma roda parte do repouso e tem uma aceleração angular que depende do tempo, dada por alpha(t) = 6t^2 , rad/s^4. A pergunta é: depois de completar 10 revoluções, qual será a velocidade angular da roda? Para resolver isso, vamos precisar entender como a aceleração angular, a velocidade angular e o deslocamento angular estão relacionados. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração angular alpha(t) é a taxa de variação da velocidade angular omega(t) em relação ao tempo. Matemáticamente, isso significa:
alpha(t) = domegadt
Como sabemos alpha(t) = 6t^2, podemos integrar essa expressão para encontrar a velocidade angular omega(t).

Passo 3

Integrando a aceleração angular para encontrar a velocidade angular:
omega(t) = integral alpha(t) , dt = integral 6t^2 , dt = 2t^3 + C
Como a roda parte do repouso, a velocidade inicial omega(0) = 0. Assim, C = 0, e temos:
omega(t) = 2t^3 , rad/s

Passo 4

Agora, precisamos relacionar a velocidade angular com o deslocamento angular theta. Sabemos que:
omega(t) = dthetadt
Então, para encontrar theta(t), integramos omega(t):
theta(t) = integral omega(t) , dt = integral 2t^3 , dt = 12t^4 + C
Novamente, considerando que a roda começa do repouso, theta(0) = 0, logo C = 0:
theta(t) = 12t^4 , rad

Passo 5

O enunciado diz que a roda completa 10 revoluções. Vamos converter isso para radianos, já que as unidades das fórmulas estão em radianos.
Sabemos que uma revolução completa é 2pi radianos, então:
theta = 10 times 2pi = 20pi , rad
Agora, vamos igualar theta(t) a 20pi e resolver para t:
12t^4 = 20pi t^4 = 40pi t = (40pi)^1/4

Passo 6

Agora que temos o tempo t quando a roda completou 10 revoluções, vamos usar esse valor para encontrar a velocidade angular omega(t):
omega(t) = 2t^3
Substituindo t = (40pi)^1/4:
omega = 2 (40pi)^3/4
Vamos calcular numericamente esse valor:
40pi approx 125.66 (40pi)^1/4 approx 3.54 omega = 2 times (3.54)^3 approx 2 times 44.37 approx 88.74 , rad/s

Resposta

A velocidade angular da roda após completar 10 revoluções é aproximadamente 89 , rad/s. Portanto, a alternativa correta é a letra c).

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