Determine se o Teorema de Rolle pode ser aplicado no intervalo [-1,3] à função f(x)=(x-3)(x+2)^2. Em caso afirmativo, determine todos valores de c tais que f^prime(c)=0.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = (x-3)(x+2)^2
no intervalo fechado [-1,3] e pede para verificar se podemos aplicar o Teorema de Rolle. Se sim, determinar os pontos cin(-1,3) tais que f'(c)=0.

Passo 2

Notamos que f é um polinômio, logo é contínua em [-1,3] e derivável em (-1,3). Essas duas condições de suavidade estão satisfeitas.

Passo 3

O Teorema de Rolle exige ainda que
f(-1) = f(3)
Vamos calcular esses valores:
f(-1) = l(-1-3r)l(-1+2r)^2 = (-4)cdot1^2 = -4,
f(3) = l(3-3r)l(3+2r)^2 = 0cdot25 = 0

Passo 4

Como f(-1) = -4 neq 0 = f(3), a condição f(a)=f(b) não se verifica. Logo, o Teorema de Rolle não pode ser aplicado em [-1,3] e não há garantia (nem obrigação) de existir ponto c com f'(c)=0.

Resposta

O Teorema de Rolle não se aplica, pois f(-1)neq f(3).

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