Considere a função f(x)=raizx-2, se possível aplique o teorema do valor médio para determinar todos os valores de c em [2,6] tais que f^prime(c)=f(b)-f(a)b-a, onde a=2 e b=6.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=raizx-2 definida no intervalo [2,6] e pede para aplicar o Teorema do Valor Médio (TVM) a fim de encontrar todos os valores cin(2,6) tais que
f'(c)=f(6)-f(2)6-2
O conteúdo aqui é cálculo diferencial, mais especificamente o TVM, que exige continuidade em [a,b] e diferenciabilidade em (a,b).

Passo 2

Verificamos as hipóteses do TVM:
  1. f(x)=raizx-2 é contínua em [2,6] porque a raiz quadrada é contínua para x>=2.
  2. f é diferenciável em (2,6) pois
f'(x)=12raizx-2
existe e é finito para todo x>2.

Passo 3

Calculamos a taxa média de variação de f entre a=2 e b=6:
f(2)=raiz2-2=0, f(6)=raiz6-2=2,
f(6)-f(2)6-2=2-04=12

Passo 4

Já sabemos que
f'(x)=12raizx-2
Pelo TVM, deve existir cin(2,6) tal que
f'(c)=12

Passo 5

Igualamos
12raizc-2=12
e resolvemos:
1raizc-2=1 Rightarrow raizc-2=1 Rightarrow c-2=1 Rightarrow c=3

Resposta

A única solução é c=3.

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