A reta e a parábola intersectam-se nos pontos e . Se denotar a região englobada por e , então
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral dupla sobre a região delimitada pela reta e pela parábola . O que isso significa é que vamos somar todos os valores da função em cada ponto dessa região. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, que ajudam a calcular áreas e volumes em regiões bidimensionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região onde vamos integrar. Sabemos que as curvas se intersectam nos pontos e . Vamos desenhar um gráfico dessas curvas para visualizar a região:
A reta é uma linha reta que desce da esquerda para a direita.
A parábola é uma curva que abre para cima.
Esses pontos de interseção nos dizem onde a reta está acima ou abaixo da parábola. Observando os pontos, vemos que entre e , a reta está acima da parábola.
Passo 3
Agora, para configurar a integral dupla, precisamos decidir a ordem de integração: integrar primeiro em relação a ou a . Vamos optar por integrar em relação a primeiro, pois isso simplifica os limites de integração.
Então, a integral dupla fica assim:
Aqui, para cada entre -2 e 1, varia de (a parábola) até (a reta).
Passo 4
Vamos começar resolvendo a integral interna, que é em relação a :
Para integrar em relação a , fazemos:
Agora, aplicamos os limites de integração:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão:
Primeiro, expandimos :
Então, substituindo de volta:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, temos que integrar essa expressão resultante em relação a de -2 a 1: