A reta y=2-x e a parábola y=x^2 intersectam-se nos pontos (-2,4) e (1,1). Se R denotar a região englobada por y=2-x e y=x^2, então
integralegral duplaR(1+2 y) d A=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral dupla sobre a região R delimitada pela reta y = 2 - x e pela parábola y = x^2 . O que isso significa é que vamos somar todos os valores da função 1 + 2y em cada ponto dessa região. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, que ajudam a calcular áreas e volumes em regiões bidimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região R onde vamos integrar. Sabemos que as curvas se intersectam nos pontos (-2, 4) e (1, 1) . Vamos desenhar um gráfico dessas curvas para visualizar a região:
  • A reta y = 2 - x é uma linha reta que desce da esquerda para a direita.
  • A parábola y = x^2 é uma curva que abre para cima.
Esses pontos de interseção nos dizem onde a reta está acima ou abaixo da parábola. Observando os pontos, vemos que entre x = -2 e x = 1 , a reta está acima da parábola.

Passo 3

Agora, para configurar a integral dupla, precisamos decidir a ordem de integração: integrar primeiro em relação a x ou a y . Vamos optar por integrar em relação a x primeiro, pois isso simplifica os limites de integração.
Então, a integral dupla fica assim:
integral duplaR(1 + 2y) , dA = integralx=-2^x=1 integraly=x^2^y=2 - x (1 + 2y) , dy , dx
Aqui, para cada x entre -2 e 1, y varia de x^2 (a parábola) até 2 - x (a reta).

Passo 4

Vamos começar resolvendo a integral interna, que é em relação a y :
integraly=x^2^y=2 - x (1 + 2y) , dy
Para integrar 1 + 2y em relação a y , fazemos:
integral (1 + 2y) , dy = y + y^2 + C
Agora, aplicamos os limites de integração:
[ y + y^2 ]y=x^2^y=2 - x = (2 - x) + (2 - x)^2 - ( x^2 + (x^2)^2 )

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
Primeiro, expandimos (2 - x)^2 :
(2 - x)^2 = 4 - 4x + x^2
Então, substituindo de volta:
(2 - x) + (4 - 4x + x^2) - x^2 - x^4 = 2 - x + 4 - 4x + x^2 - x^2 - x^4
Simplificando os termos semelhantes:
2 + 4 - x - 4x - x^4 = 6 - 5x - x^4

Passo 6

Agora, temos que integrar essa expressão resultante em relação a x de -2 a 1:
integralx=-2^x=1 (6 - 5x - x^4) , dx
Vamos integrar termo a termo:
integral 6 , dx = 6x
integral -5x , dx = -52x^2
integral -x^4 , dx = -15x^5
Então, a integral se torna:
6x - 52x^2 - 15x^5 |x=-2^x=1

Passo 7

Agora, substituímos os limites de integração:
Primeiro, para x = 1 :
6(1) - 52(1)^2 - 15(1)^5 = 6 - 52 - 15 = 6 - 2.5 - 0.2 = 3.3
Segundo, para x = -2 :
6(-2) - 52(-2)^2 - 15(-2)^5 = -12 - 52(4) - 15(-32) = -12 - 10 + 6.4 = -15.6

Resposta

Subtraindo os valores obtidos:
3.3 - (-15.6) = 18.9
Portanto, o valor da integral dupla é 18,9.

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