Nos exercícios 1-10, esboce a região de integração e calcule a integral.
integral1^4 integral0^raizx 32 e^y / raizx d y d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração
R = (x,y)mid 1<= x<= 4,;0<= y<= raizx
e calcular a integral dupla
integral1^4integral0^raizx32e^y/raizx,dy,dx
O conteúdo aqui é cálculo de integrais duplas em coordenadas cartesianas e uso de substituição para resolver a integral interna.

Passo 2

Vamos esboçar R: no plano xy, a curva y=raizx vai de x=1 a x=4, com y de 0 a 2. Portanto R fica entre as retas verticais x=1 e x=4, o eixo x ( y=0) e a parábola y=raizx.

Passo 3

Para cada x fixo em [1,4], calculamos
integral0^raizx32e^y/raizx,dy
Fazemos a substituição
u=yraizx, dy=raizx,du, y=0mapsto u=0, y=raizxmapsto u=1
Isso dá
integral0^raizx32e^y/raizx,dy =integral0^132e^u,l(raizx,dur) =32raizxintegral0^1e^u,du =32raizxl(e-1r)

Passo 4

Substituindo no integral sobre x,
I =integral1^432raizx,(e-1),dx =32(e-1)integral1^4x^1/2,dx
Como
integral1^4x^1/2,dx =[23x^3/2]1^4 =23l(4^3/2-1^3/2r) =23(8-1) =143,
segue
I =32(e-1)cdot143 =7,(e-1)

Resposta

7,(e-1)

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