Determine o termo geral das sequências abaixo:
an+2-4 an+1+4 an=1, a0=0, a1=-1

Passo 1

O enunciado pede o termo geral da sequência definida pela recorrência an+2-4an+1+4an=1 com a0=0 e a1=-1. O conteúdo envolvido é equações de recorrência lineares não homogêneas com coeficientes constantes; vamos usar a equação característica para a parte homogênea e depois encontrar uma solução particular.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos an+2-4an+1+4an=0. A equação característica é
r^2-4r+4=0
que fatoriza como (r-2)^2=0. Então temos raiz dupla r=2 e a solução homogênea é
an^(h)=(C1+C2n)2^n

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular an^(p) para a recorrência completa. Como o termo independe de n, tentamos an^(p)=A constante. Substituindo em
A-4A+4A=A(1-4+4)=A
precisamos que isso seja igual a 1, logo A=1. Portanto
an^(p)=1

Passo 4

A solução geral é a soma das duas partes:
an=(C1+C2n)2^n+1
Para determinar C1 e C2, usamos as condições iniciais. Para n=0:
a0=C1,2^0+1=C1+1=0implies C1=-1
Para n=1:
$$
a_1=(C_1+C_2)2^1+1=2(C_1+C_2)+1=-1 a1=(C1+C2)2^1+1=2(C1+C2)+1=-1
2(-1+C_2)+1=-1\implies -2+2C_2+1=-1\implies 2C_2-1=-1\implies C_2=0
$$

Passo 5

Substituindo C1=-1 e C2=0 na expressão geral, temos
an=(-1+0cdot n)2^n+1=1-2^n
que é o termo geral da sequência.

Resposta

an=1-2^n

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