Determine o termo geral das sequências abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o termo geral da sequência definida pela recorrência
com
e
. O conteúdo envolvido é equações de recorrência lineares não homogêneas com coeficientes constantes; vamos usar a equação característica para a parte homogênea e depois encontrar uma solução particular.
Passo 2
Para a parte homogênea, consideramos
. A equação característica é
que fatoriza como
. Então temos raiz dupla
e a solução homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para a recorrência completa. Como o termo independe de
, tentamos
constante. Substituindo em
precisamos que isso seja igual a 1, logo
. Portanto
Passo 4
A solução geral é a soma das duas partes:
Para determinar
e
, usamos as condições iniciais. Para
:
Para
:
$$
a_1=(C_1+C_2)2^1+1=2(C_1+C_2)+1=-1
2(-1+C_2)+1=-1\implies -2+2C_2+1=-1\implies 2C_2-1=-1\implies C_2=0
$$
Passo 5
Substituindo
e
na expressão geral, temos
que é o termo geral da sequência.