Determine o termo geral das sequências abaixo:
(n+3) an+2-2(n+1) an=0, a0=a1=1

Passo 1

O enunciado dá a recorrência de segunda ordem (n+3)an+2-2(n+1)an=0 com a0=a1=1. O conteúdo é obter o termo geral de uma recorrência que “pula” de n para n+2. Vamos usar a reescrita an+2=2(n+1)n+3an e separar os termos pares e ímpares.

Passo 2

Para lidar com o “salto” de dois em dois, definimos duas sequências: bk=a2k e ck=a2k+1. Substituindo n=2k em an+2=dots obtemos
bk+1=a2k+2=2(2k+1)2k+3a2k=2(2k+1)2k+3,bk
Para n=2k+1 vem
ck+1=a2k+3=2(2k+2)2k+4a2k+1=2(k+1)k+2,ck

Passo 3

Começando pela sequência ímpar ck, temos c0=a1=1 e
ck+1=2(k+1)k+2,ck
Logo
ck=prodj=0^k-12(j+1)j+2=prodi=1^k2ii+1=2^kk!(k+1)!=2^kk+1

Passo 4

Agora a parte par bk: b0=a0=1 e
bk+1=2(2k+1)2k+3,bk
Fazendo o produto
bk=prodj=0^k-12(2j+1)2j+3=2^kprodj=0^k-12j+12j+3=2^k(2k)!(2k+1)!=2^k2k+1

Passo 5

Juntando os dois casos, para todo k>=0:
a2k=bk=2^k2k+1, a2k+1=ck=2^kk+1
Em termos de n isso vale:
se n=2k,
an=2^n/2n+1,
se n=2k+1,
an=2^(n+1)/2n+1

Resposta

a2k=2^k2k+1, a2k+1=2^kk+1 Em forma piecewise:
$$a_n=\begin{cases}\dfrac{2^{n/2}}{n+1},&npar,\[6pt]\dfrac{2^{(n+1)/2}}{n+1},&nímpar.
\end{cases}$$

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