Determine o termo geral das sequências abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a recorrência de segunda ordem
com
. O conteúdo é obter o termo geral de uma recorrência que “pula” de
para
. Vamos usar a reescrita
e separar os termos pares e ímpares.
Passo 2
Para lidar com o “salto” de dois em dois, definimos duas sequências:
e
. Substituindo
em
obtemos
Para
vem
Passo 3
Começando pela sequência ímpar
, temos
e
Logo
Passo 4
Agora a parte par
:
e
Fazendo o produto
Passo 5
Juntando os dois casos, para todo
:
Em termos de
isso vale:
se ,
se
se
,
Resposta
$$a_n=\begin{cases}\dfrac{2^{n/2}}{n+1},&npar,\[6pt]\dfrac{2^{(n+1)/2}}{n+1},&nímpar.
\end{cases}$$