Determine os pontos de continuidade de cada uma das funções abaixo.
f(x)= 2 x-1 & se x <= 1 x+1 & se 1

Passo 1

Temos a função definida por partes
f(x)=
2x-1 & x<=1 x+1 & 12
O conteúdo é continuidade de função em pontos de troca de definição. Para resolver, vamos usar a definição de continuidade: em um ponto a é preciso que
limxto a^-f(x)=limxto a^+f(x)=f(a)

Passo 2

Em cada parte interna (sem considerar as fronteiras x=1 e x=2) a função é polinomial ou uma razão de polinômios sem denominador nulo, logo é contínua nos intervalos:
  • x<1 (f(x)=2x-1)
  • 1<x<2 (f(x)=x+1)
  • x>2 (f(x)=\frac{x^2+2x-8}{2x-4}, que simplificaremos depois)

Passo 3

Vamos checar a fronteira x=1:
Para x→1^- usamos 2x−1:
limxto1^-f(x)=2cdot1-1=1,
e f(1)=2\cdot1-1=1.
Para x→1^+ usamos x+1:
limxto1^+f(x)=1+1=2
Como 1≠2, a função não é contínua em x=1.

Passo 4

Agora checamos x=2. Primeiro simplificamos o trecho x>2:
x^2+2x-82x-4= (x+4)(x-2)2(x-2)= x+42, xne2
Então para x→2^+ temos
limxto2^+f(x)=2+42=3
Para x→2^- (usando x+1) e no próprio f(2) (já que 2≤2):
limxto2^-f(x)=2+1=3,
f(2)=2+1=3.
Portanto são todos iguais e f é contínua em x=2.

Resposta

A função é contínua para todos os x reais, exceto em x=1.

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