Determine os pontos de continuidade de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
Temos a função definida por partes
f(x)=
f(x)=
O conteúdo é continuidade de função em pontos de troca de definição. Para resolver, vamos usar a definição de continuidade: em um ponto a é preciso que
Passo 2
Em cada parte interna (sem considerar as fronteiras x=1 e x=2) a função é polinomial ou uma razão de polinômios sem denominador nulo, logo é contínua nos intervalos:
- x<1 (f(x)=2x-1)
- 1<x<2 (f(x)=x+1)
- x>2 (f(x)=\frac{x^2+2x-8}{2x-4}, que simplificaremos depois)
Passo 3
Vamos checar a fronteira x=1:
Para x→1^- usamos 2x−1:
Para x→1^- usamos 2x−1:
e f(1)=2\cdot1-1=1.
Para x→1^+ usamos x+1:
Para x→1^+ usamos x+1:
Como 1≠2, a função não é contínua em x=1.
Passo 4
Agora checamos x=2. Primeiro simplificamos o trecho x>2:
Então para x→2^+ temos
Para x→2^- (usando x+1) e no próprio f(2) (já que 2≤2):
f(2)=2+1=3.
Portanto são todos iguais e f é contínua em x=2.
Portanto são todos iguais e f é contínua em x=2.
Resposta
A função é contínua para todos os x reais, exceto em x=1.