Determine o termo geral da sucessão das somas parciais,
e a soma
(se possível) de cada uma das seguintes séries:
;
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o termo geral das somas parciais, $ S_n $, e a soma total, $ S $, da série $ \sum_{n=1}^{+\infty} 2^{n} $. Aqui, estamos lidando com séries geométricas, que envolvem termos que são potências constantes multiplicadas por uma razão fixa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série geométrica. É uma sequência onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante $ r $. No nosso caso, a série é $ 2^1 + 2^2 + 2^3 + \dots $, então a razão $ r $ é 2.
Passo 3
Para encontrar o termo geral das somas parciais, $ S_n $, usamos a fórmula da soma dos primeiros $ n $ termos de uma série geométrica:
onde:
- $ a $ é o primeiro termo da série,
- $ r $ é a razão da série,
- $ n $ é o número de termos.
Passo 4
Identificando os valores na nossa série:
- Primeiro termo $ a = 2^1 = 2 $,
- Razão $ r = 2 $.
Substituindo na fórmula:
Simplificando:
Passo 5
Agora, para encontrar a soma total $ S $ quando $ n $ tende ao infinito, observamos que a série é divergente. Isso porque, em uma série geométrica, se a razão $ |r| > 1 $, a série não converge para um valor finito.
Passo 6
Como nossa razão $ r = 2 $ é maior que 1, a soma total $ S $ não existe (ou seja, a série diverge para o infinito).
Resposta
O termo geral das somas parciais é $ S_{n} = 2^{n+1} - 2 $ e a soma total $ S $ não existe, pois a série é divergente.