Encontre a transformada de Laplace inversa:
F(s)=5 e^-6 s-3 e^-11 s(s+2)(s^2+9)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace inversa da função
F(s)=5 e^-6 s-3 e^-11 s(s+2)(s^2+9)
Isso envolve o conteúdo de transformadas de Laplace, que é uma ferramenta super útil para resolver equações diferenciais. Vamos precisar usar propriedades das transformadas, como o deslocamento no tempo e a decomposição em frações parciais para simplificar a expressão e facilitar a inversão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos um termo da forma $ e^{-as} $ na transformada de Laplace, isso indica um deslocamento no tempo na função original. A propriedade que usamos é:
e^-as
onde $ u(t - a) $ é a função degrau unitário que “ativa” a função a partir do tempo $ t = a $.

Passo 3

Vamos separar a função $ F(s) $ em duas partes para facilitar:
F(s)
Assim, tratamos cada termo com o deslocamento de tempo separadamente.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a transformada de Laplace inversa de $ \frac{1}{(s+2)(s^{2}+9)} $. Para isso, vamos decompor essa fração em frações parciais. Supomos que:
1(s+2)(s^2+9)
Nosso objetivo é encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por $ (s+2)(s^{2}+9) $ para eliminar os denominadores:
(s+2)(s^2+9)
Agora, expandimos e agrupamos os termos para encontrar os coeficientes.

Passo 6

Expandindo a expressão:
1 = A s^2 + 9A + Bs^2 + 2Bs + Cs + 2C
Agrupando os termos semelhantes:
1 = (A + B)s^2 + (2B + C)s + (9A + 2C)

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau em ambos os lados da equação:
A + B = 0, 2B + C = 0, 9A + 2C = 1
Vamos resolver esse sistema para encontrar $ A $, $ B $ e $ C $.

Passo 8

Resolvendo o sistema:
  1. De $ A + B = 0 $, temos $ B = -A $.
  2. Substituindo $ B $ na segunda equação: $ 2(-A) + C = 0 $ → $ C = 2A $.
  3. Substituindo $ B $ e $ C $ na terceira equação: $ 9A + 2(2A) = 1 $ → $ 13A = 1 $ → $ A = \frac{1}{13} $.
    Portanto, $ B = -\frac{1}{13} $ e $ C = \frac{2}{13} $.

Passo 9

Substituindo os valores encontrados na decomposição inicial:
1(s+2)(s^2+9) = 113s+2 + -113 s + 213s^2+9
Simplificando:
1(s+2)(s^2+9) = 113 cdot 1s+2 + - s + 2 13 (s^2 + 9)

Passo 10

Agora, aplicamos a transformada inversa a cada termo:
L^-1 1s + 2 = e^-2 t,
L^-1 -s + 2s^2 + 9 = -cos(3 t) + 23 sin(3 t)
Portanto:
L^-1 1(s+2)(s^2+9) = 113 e^-2 t + -cos(3 t) + 23 sin(3 t) 13

Passo 11

Finalmente, voltamos à expressão original de $ F(s) $ e aplicamos a transformada inversa considerando os deslocamentos no tempo:
F(s)

Resposta

A transformada de Laplace inversa de $ F(s) $ é:
F(s)

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