Encontre a transformada de Laplace inversa:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace inversa da função
Isso envolve o conteúdo de transformadas de Laplace, que é uma ferramenta super útil para resolver equações diferenciais. Vamos precisar usar propriedades das transformadas, como o deslocamento no tempo e a decomposição em frações parciais para simplificar a expressão e facilitar a inversão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando temos um termo da forma $ e^{-as} $ na transformada de Laplace, isso indica um deslocamento no tempo na função original. A propriedade que usamos é:
onde $ u(t - a) $ é a função degrau unitário que “ativa” a função a partir do tempo $ t = a $.
Passo 3
Vamos separar a função $ F(s) $ em duas partes para facilitar:
Assim, tratamos cada termo com o deslocamento de tempo separadamente.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a transformada de Laplace inversa de $ \frac{1}{(s+2)(s^{2}+9)} $. Para isso, vamos decompor essa fração em frações parciais. Supomos que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $.
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por $ (s+2)(s^{2}+9) $ para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos e agrupamos os termos para encontrar os coeficientes.
Passo 6
Expandindo a expressão:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau em ambos os lados da equação:
Vamos resolver esse sistema para encontrar $ A $, $ B $ e $ C $.
Passo 8
Resolvendo o sistema:
- De $ A + B = 0 $, temos $ B = -A $.
- Substituindo $ B $ na segunda equação: $ 2(-A) + C = 0 $ → $ C = 2A $.
- Substituindo $ B $ e $ C $ na terceira equação: $ 9A + 2(2A) = 1 $ → $ 13A = 1 $ → $ A = \frac{1}{13} $.
Portanto, $ B = -\frac{1}{13} $ e $ C = \frac{2}{13} $.
Passo 9
Substituindo os valores encontrados na decomposição inicial:
Simplificando:
Passo 10
Agora, aplicamos a transformada inversa a cada termo:
Portanto:
Passo 11
Finalmente, voltamos à expressão original de $ F(s) $ e aplicamos a transformada inversa considerando os deslocamentos no tempo:
Resposta
A transformada de Laplace inversa de $ F(s) $ é: