Determine o termo geral da sucessão das somas parciais,
e a soma
(se possível) de cada uma das seguintes séries:
;
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O exercício pede pra gente encontrar o termo geral das somas parciais, que chamaremos de $ S_n $, e também a soma total $ S $ dessa série infinita:
Esse é um problema que envolve séries telescópicas, um tópico da matéria de Cálculo. Vamos precisar entender como as somas parciais funcionam e como alguns termos se cancelam para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a soma parcial $ S_n $, que é a soma dos primeiros $ n $ termos da série. Ou seja:
Passo 3
Vamos separar essa soma em duas partes diferentes:
Agora, para simplificar, vamos reindexar o primeiro somatório. Isso significa mudar o índice de soma para facilitar o cancelamento dos termos. Vamos definir $ m = k + 2 $. Quando $ k = 1 $, $ m = 3 $, e quando $ k = n $, $ m = n + 2 $. Então:
Passo 4
Substituindo de volta na expressão de $ S_n $, temos:
Vamos escrever ambas as somas completas para ver melhor como os termos vão se comportar:
Passo 5
Agora, substituindo essas somas na expressão de $ S_n $:
Olha só o legal: os termos
até
aparecem nos dois somatórios e vão se cancelar. Então, restam apenas alguns termos:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 7
Agora, para encontrar a soma total $ S $ da série infinita, vamos calcular o limite de $ S_n $ quando $ n $ tende ao infinito:
Sabemos que, à medida que $ n $ cresce, $ \frac{1}{n+1} $ e $ \frac{1}{n+2} $ tendem a zero. Então:
Resposta
O termo geral das somas parciais é:
E a soma total da série infinita é: