Determine o termo geral da sucessão das somas parciais, Sn e a soma S (se possível) de cada uma das seguintes séries:
sumn=1^+infty(1n+2-1n);

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O exercício pede pra gente encontrar o termo geral das somas parciais, que chamaremos de $ S_n $, e também a soma total $ S $ dessa série infinita:
Sn
Esse é um problema que envolve séries telescópicas, um tópico da matéria de Cálculo. Vamos precisar entender como as somas parciais funcionam e como alguns termos se cancelam para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a soma parcial $ S_n $, que é a soma dos primeiros $ n $ termos da série. Ou seja:
Sn

Passo 3

Vamos separar essa soma em duas partes diferentes:
Sn = sumk=1^n 1k+2 - sumk=1^n 1k
Agora, para simplificar, vamos reindexar o primeiro somatório. Isso significa mudar o índice de soma para facilitar o cancelamento dos termos. Vamos definir $ m = k + 2 $. Quando $ k = 1 $, $ m = 3 $, e quando $ k = n $, $ m = n + 2 $. Então:
m = k + 2

Passo 4

Substituindo de volta na expressão de $ S_n $, temos:
Sn
Vamos escrever ambas as somas completas para ver melhor como os termos vão se comportar:
Sn = ( summ=3^n+2 1m ) - ( sumk=1^n 1k )
summ=3^n+2 1m = 13 + 14 + dots + 1n+2

Passo 5

Agora, substituindo essas somas na expressão de $ S_n $:
Sn
Olha só o legal: os termos Sn = ( 13 + 14 + dots + 1n+2 ) - ( 11 + 12 + dots + 1n ) até 13 aparecem nos dois somatórios e vão se cancelar. Então, restam apenas alguns termos:
1n

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão:
Sn = ( 1n+1 + 1n+2 ) - ( 1 + 12 )
Sn = 1n+1 + 1n+2 - 32

Passo 7

Agora, para encontrar a soma total $ S $ da série infinita, vamos calcular o limite de $ S_n $ quando $ n $ tende ao infinito:
S
Sabemos que, à medida que $ n $ cresce, $ \frac{1}{n+1} $ e $ \frac{1}{n+2} $ tendem a zero. Então:
Sn

Resposta

O termo geral das somas parciais é:
Sn = 1n+1 + 1n+2 - 32
E a soma total da série infinita é:
S = -32

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