Determine o termo geral da sucessão das somas parciais, Sn e a soma S (se possível) de cada uma das seguintes séries:
sumn=1^+infty 3^-2 n+3;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o termo geral da sequência das somas parciais, $ S_n $, e também a soma total, $ S $, dessa série infinita:
Sn
Para resolver isso, vamos usar conceitos de progressão geométrica, que é uma sequência onde cada termo é um múltiplo constante do anterior. Vamos precisar identificar a razão dessa progressão e aplicar as fórmulas de soma parcial e soma infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
3^-2n + 3 = 3^3 cdot 3^-2n = 27 cdot (3^-2)^n = 27 cdot (19)^n
Então, o termo geral da série pode ser reescrito como:
an = 27 cdot (19)^n

Passo 3

Agora, para encontrar a soma parcial $ S_n $, que é a soma dos primeiros $ n $ termos da série, usamos a fórmula da soma da progressão geométrica:
Sn
Onde:
  • $ a_1 $ é o primeiro termo da série.
  • $ r $ é a razão da progressão geométrica.
Aqui, o primeiro termo $ a_1 $ quando $ n = 1 $ é:
n
E a razão $ r $ é $ \frac{1}{9} $.

Passo 4

Substituindo $ a_1 $ e $ r $ na fórmula da soma parcial:
a1
Então, o termo geral da sequência das somas parciais $ S_n $ é:
r

Passo 5

Agora, para encontrar a soma total $ S $ da série infinita, verificamos se a série converge. Como a razão $ r = \frac{1}{9} $ está entre -1 e 1, a série converge e usamos a fórmula da soma infinita:
S

Resposta

O termo geral da sequência das somas parciais é:
Sn = 278 (1 - (19)^n)
E a soma total da série infinita é:
S = 278

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