Determine o termo geral da sucessão das somas parciais,
e a soma
(se possível) de cada uma das seguintes séries:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o termo geral da sequência das somas parciais, $ S_n $, e também a soma total, $ S $, dessa série infinita:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de progressão geométrica, que é uma sequência onde cada termo é um múltiplo constante do anterior. Vamos precisar identificar a razão dessa progressão e aplicar as fórmulas de soma parcial e soma infinita.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
Então, o termo geral da série pode ser reescrito como:
Passo 3
Agora, para encontrar a soma parcial $ S_n $, que é a soma dos primeiros $ n $ termos da série, usamos a fórmula da soma da progressão geométrica:
Onde:
- $ a_1 $ é o primeiro termo da série.
- $ r $ é a razão da progressão geométrica.
Aqui, o primeiro termo $ a_1 $ quando $ n = 1 $ é:
E a razão $ r $ é $ \frac{1}{9} $.
Passo 4
Substituindo $ a_1 $ e $ r $ na fórmula da soma parcial:
Então, o termo geral da sequência das somas parciais $ S_n $ é:
Passo 5
Agora, para encontrar a soma total $ S $ da série infinita, verificamos se a série converge. Como a razão $ r = \frac{1}{9} $ está entre -1 e 1, a série converge e usamos a fórmula da soma infinita:
Resposta
O termo geral da sequência das somas parciais é:
E a soma total da série infinita é: