Determine o termo x^4 no desenvolvimento de (2 x^3+1x)^8 R 448 x^4

Passo 1

O enunciado pede o termo em x^4 no desenvolvimento de (2x^3 + x^-1)^8. O conteúdo é o Teorema Binomial e vamos precisar usar a fórmula do termo geral para identificar o expoente de x e extrair o coeficiente correspondente.

Passo 2

Segundo o Teorema Binomial, o termo geral de (a + b)^n é dado por
Tk+1 = binomnk ;a^,n-k;b^,k
Aqui temos a = 2x^3, b = x^-1 e n = 8.

Passo 3

Substituindo em Tk+1 obtemos
Tk+1 = binom8k ;(2x^3)^8-k;(x^-1)^k = binom8k 2^8-k x^3(8-k)-k = binom8k 2^8-k x^24-4k
O expoente de x fica 24 - 4k.

Passo 4

Para que o termo seja em x^4, impomos
24 - 4k = 4 implies 4k = 20 implies k = 5

Passo 5

Com k=5, o coeficiente é
binom85 2^8-5 = binom85 2^3 = 56 times 8 = 448
Logo, o termo em x^4 é 448x^4.

Resposta

448x^4

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