Encintre a série de Fourier da função f dada por:
(a) f(x)=lll1, & se -pi <= x<0 0, & se 0 <= x<-pi
(b) f(x)=rrrx+pi, & se & -pi <= x<0 pi, & se & 0 <= x<-pi
© f(x)=
lllpi+x, & se -pi <= x<0 pi-x, & se 0 <= x<-pi

Passo 1

Temos funções periódicas de período 2π definidas em partes, e a missão é escrever suas séries de Fourier trigonométricas. Vamos usar o conteúdo de séries de Fourier de funções de período 2π, que exige calcular os coeficientes a₀, aₙ e bₙ.

Passo 2

Para uma função f periódica de período 2π, lembramos que
a0 = 1piintegral-pi^pif(x),dx, an = 1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx, bn = 1piintegral-pi^pif(x)sin(nx),dx
E a série fica
f(x)sim a02 + sumn=1^inftyl(ancos(nx)+bnsin(nx)r)

Passo 3

Para (a), f(x)=1 em [-π,0) e f(x)=0 em [0,π). Calculamos
a0 = 1piintegral-pi^0 1,dx = 1,
an = 1piintegral-pi^0cos(nx),dx = sin(nx)pi n|-pi^0 = 0,
bn = 1piintegral-pi^0sin(nx),dx = -cos(nx)pi n|-pi^0 = (-1)^n - 1pi n

Passo 4

Assim, a série de Fourier para (a) é
f(x)=12 + sumn=1^infty (-1)^n - 1pi n,sin(nx)

Passo 5

Para (b), f(x)=x+π em [-π,0) e f(x)=π em [0,π). Calculamos
a0 = 1pil(integral-pi^0(x+π),dx + integral0^ππ,dxr)=3π2,
an = 1pil(integral-pi^0(x+π)cos(nx),dx + integral0^π πcos(nx),dxr)=1 - (-1)^npi n^2,
bn = 1pil(integral-pi^0(x+π)sin(nx),dx + integral0^π πsin(nx),dxr)=(-1)^n+1n

Passo 6

Logo, a série de Fourier para (b) é
f(x)=3π4 + sumn=1^infty l(1 - (-1)^npi n^2cos(nx) + (-1)^n+1nsin(nx)r)

Passo 7

Para ©, note que f(x)=π - |x| em [-π,π), que é função par, então bₙ=0. Calculamos
a0 = 1piintegral-pi^pi(π - |x|),dx = π,
an = 2piintegral0^π(π - x)cos(nx),dx = 2l(1 - (-1)^nr)pi n^2

Passo 8

Assim, a série de Fourier para © fica
f(x)=π2 + sumn=1^infty 2l(1 - (-1)^nr)pi n^2cos(nx) = π2 + sumk=0^infty 4pi(2k+1)^2cosl((2k+1)xr)

Resposta

(a) f(x)=\tfrac12 + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n - 1}{\pi n},\sin(nx).
(b) f(x)=\tfrac{3π}{4} + \sum_{n=1}^\infty \Bigl(\frac{1 - (-1)^n}{\pi n^2}\cos(nx) + \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)\Bigr).
© f(x)=\tfrac{π}{2} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2\bigl(1 - (-1)^n\bigr)}{\pi n^2}\cos(nx)
= \tfrac{π}{2} + \sum_{k=0}^\infty \frac{4}{\pi(2k+1)^2}\cos\bigl((2k+1)x\bigr).

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