Encintre a série de Fourier da função
dada por:
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Passo 1
Temos funções periódicas de período 2π definidas em partes, e a missão é escrever suas séries de Fourier trigonométricas. Vamos usar o conteúdo de séries de Fourier de funções de período 2π, que exige calcular os coeficientes a₀, aₙ e bₙ.
Passo 2
Para uma função f periódica de período 2π, lembramos que
E a série fica
Passo 3
Para (a), f(x)=1 em [-π,0) e f(x)=0 em [0,π). Calculamos
Passo 4
Assim, a série de Fourier para (a) é
Passo 5
Para (b), f(x)=x+π em [-π,0) e f(x)=π em [0,π). Calculamos
Passo 6
Logo, a série de Fourier para (b) é
Passo 7
Para ©, note que f(x)=π - |x| em [-π,π), que é função par, então bₙ=0. Calculamos
Passo 8
Assim, a série de Fourier para © fica
Resposta
(a) f(x)=\tfrac12 + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n - 1}{\pi n},\sin(nx).
(b) f(x)=\tfrac{3π}{4} + \sum_{n=1}^\infty \Bigl(\frac{1 - (-1)^n}{\pi n^2}\cos(nx) + \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)\Bigr).
© f(x)=\tfrac{π}{2} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2\bigl(1 - (-1)^n\bigr)}{\pi n^2}\cos(nx)
= \tfrac{π}{2} + \sum_{k=0}^\infty \frac{4}{\pi(2k+1)^2}\cos\bigl((2k+1)x\bigr).
= \tfrac{π}{2} + \sum_{k=0}^\infty \frac{4}{\pi(2k+1)^2}\cos\bigl((2k+1)x\bigr).