Resolva:
y^prime-yx=2 x y^2, y=y(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial $ y^{\prime} - \frac{y}{x} = 2x y^{2} $. Essa é uma equação de primeira ordem e não linear. Para resolver, vamos usar o método da Bernoulli, que é perfeito para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão da equação de Bernoulli:
y' + P(x)y = Q(x)y^n
Comparando com a nossa equação:
y^prime - yx = 2x y^2
Identificamos que:
  • $ P(x) = -\frac{1}{x} $
  • $ Q(x) = 2x $
  • $ n = 2 $

Passo 3

O método da Bernoulli envolve fazer uma substituição para transformar a equação não linear em uma equação linear. Definimos uma nova variável:
v = y^1 - n = y^1 - 2 = y^-1
Agora, vamos calcular a derivada de $ v $ em relação a $ x $:
v

Passo 4

Substituindo $ y’ $ da equação original na expressão para $ v’ $:
y'
Então:
v'
Lembrando que $ v = y^{-1} $, podemos reescrever:
y' = yx + 2x y^2
Agora, temos uma equação linear em $ v $:
v' = -y^-2 ( yx + 2x y^2 ) = -1x y^-1 - 2x

Passo 5

Para resolver essa equação linear, vamos encontrar um fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
mu(x)
Multiplicamos toda a equação por $ \mu(x) = x $:
mu(x) = e^integral 1x dx = e^ln x = x
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada de $ x v $:
mu(x) = x

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados:
integral ddx(x v) dx = integral -2x^2 dx
Isso resulta em:
x v = -23x^3 + C
Onde $ C $ é a constante de integração. Agora, isolando $ v $:
C

Passo 7

Lembrando que $ v = y^{-1} $, podemos resolver para $ y $:
v = y^-1
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por $ 3x $:
y

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = 3xC - 2x^3
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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