Resolva:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial $ y^{\prime} - \frac{y}{x} = 2x y^{2} $. Essa é uma equação de primeira ordem e não linear. Para resolver, vamos usar o método da Bernoulli, que é perfeito para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão da equação de Bernoulli:
Comparando com a nossa equação:
Identificamos que:
- $ P(x) = -\frac{1}{x} $
- $ Q(x) = 2x $
- $ n = 2 $
Passo 3
O método da Bernoulli envolve fazer uma substituição para transformar a equação não linear em uma equação linear. Definimos uma nova variável:
Agora, vamos calcular a derivada de $ v $ em relação a $ x $:
Passo 4
Substituindo $ y’ $ da equação original na expressão para $ v’ $:
Então:
Lembrando que $ v = y^{-1} $, podemos reescrever:
Agora, temos uma equação linear em $ v $:
Passo 5
Para resolver essa equação linear, vamos encontrar um fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Multiplicamos toda a equação por $ \mu(x) = x $:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada de $ x v $:
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde $ C $ é a constante de integração. Agora, isolando $ v $:
Passo 7
Lembrando que $ v = y^{-1} $, podemos resolver para $ y $:
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por $ 3x $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.