Usando o método da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos os casos, assuma -infty e t>0.
lut=a(t) ux x u(x, 0)=f(x),, a(t)>0.

Passo 1

O problema é um PDE de difusão com coeficiente de difusividade dependente do tempo: temos ut=a(t)uxx para -infty e t>0, com condição inicial u(x,0)=f(x). Vamos usar a transformada de Fourier em x para virar o PDE numa ODE em t.

Passo 2

Definimos a transformada de Fourier de u(x,t) como hat u(k,t)=integral-infty^inftyu(x,t)e^-ikx,dx. Aplicando-a à equação, como F[ut]=hat ut e F[uxx]=-k^2hat u, obtemos a ODE
hat ut(k,t)=-k^2a(t),hat u(k,t)

Passo 3

Essa ODE pode ser resolvida por separação de variáveis. Escrevendo
dhat uhat u=-k^2a(t),dt
e integrando de 0 até t, com hat u(k,0)=hat f(k), vem
hat u(k,t)=hat f(k)expl(-k^2integral0^t a(s),dsr)

Passo 4

Chamando de A(t)=integral0^t a(s),ds, temos hat u(k,t)=hat f(k)e^-k^2A(t). Para voltar a u(x,t), fazemos a transformada inversa:
u(x,t)=12piintegral-infty^inftyhat f(k)e^-k^2A(t)e^ikx,dk

Passo 5

Esse integral é a convolução de f com o núcleo Gaussiano de variância 2A(t), resultando em
u(x,t)=integral-infty^infty1raiz4pi A(t)expl(-(x-y)^24A(t)r)f(y),dy

Resposta

u(x,t)=integral-infty^infty1raiz4pi A(t)expl(-(x-y)^24A(t)r)f(y),dy,\quad onde A(t)=integral0^t a(s),ds.

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