Usando o método da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos os casos, assuma
e
.
.
Passo 1
O problema é um PDE de difusão com coeficiente de difusividade dependente do tempo: temos
para
e
, com condição inicial
. Vamos usar a transformada de Fourier em
para virar o PDE numa ODE em
.
Passo 2
Definimos a transformada de Fourier de
como
. Aplicando-a à equação, como
e
, obtemos a ODE
Passo 3
Essa ODE pode ser resolvida por separação de variáveis. Escrevendo
e integrando de 0 até
Passo 4
Chamando de
, temos
. Para voltar a
, fazemos a transformada inversa:
Passo 5
Esse integral é a convolução de
com o núcleo Gaussiano de variância
, resultando em