Determine the domain and find the derivative.
f(x)=(ln x)^3.

Passo 1

Temos a função f(x) = (ln x)^3. O conteúdo envolve domínio de funções elementares e derivação por regra da cadeia. Vamos usar que ln x está definido para x>0 e que ddxln x = 1/x.

Passo 2

Para determinar o domínio, exigimos que o argumento do logaritmo seja positivo, isto é, x>0. Logo, o domínio de f é (0,infty).

Passo 3

Para achar a derivada, note que f(x) = [g(x)]^3 com g(x)=ln x. Pela regra da cadeia,

Passo 4

f'(x) = 3[g(x)]^2 cdot g'(x) = 3(ln x)^2 cdot 1x = 3(ln x)^2x

Resposta

Domínio: (0,infty). Derivada: f'(x)=3(ln x)^2x.

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