Seja T o tetraedro de vértices O=(0,0,0), A=(2,0,0), B=(0,6,0) e C=(0,0,2) e seja S a superfície lateral de T constituída pelas faces de T que não estão no plano x y com campo normal unitário n apontando para fora de S. Calcule o fluxo do rotacional do campo F(x, y, z)=(3 x+z) i+(x+4 z) j+(2 y+x) k através de S.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema nos pede para calcular o fluxo do rotacional do campo vetorial F(x, y, z) = (3x + z)i + (x + 4z)j + (2y + x)k através da superfície lateral S do tetraedro T. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de cálculo vetorial, especificamente com rotacional e fluxo. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o rotacional de um campo vetorial e depois integrar esse rotacional sobre a superfície S.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional (ou curl) do campo vetorial F. O rotacional de F é dado por:
rot F = nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z )i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x )j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y )k
Vamos calcular cada termo:
  • partial Fzpartial y = partial (2y + x)partial y = 2
  • partial Fypartial z = partial (x + 4z)partial z = 4
  • partial Fxpartial z = partial (3x + z)partial z = 1
  • partial Fzpartial x = partial (2y + x)partial x = 1
  • partial Fypartial x = partial (x + 4z)partial x = 1
  • partial Fxpartial y = partial (3x + z)partial y = 0
Então,
rot F = (2 - 4)i + (1 - 1)j + (1 - 0)k = (-2)i + 0j + 1k

Passo 3

Agora que temos o rotacional de F, precisamos calcular o fluxo desse vetor através da superfície S. O fluxo é dado pela integral de superfície:
Fluxo = integral duplaS (rot F) cdot n , dS
Onde n é o vetor normal unitário à superfície S apontando para fora. Como S é composta pelas faces laterais do tetraedro T, vamos calcular o fluxo em cada uma dessas faces e somar os resultados.

Passo 4

Vamos identificar as faces laterais de T:
  1. Face OAC: formada pelos pontos O(0,0,0), A(2,0,0) e C(0,0,2).
  2. Face OBC: formada pelos pontos O(0,0,0), B(0,6,0) e C(0,0,2).
  3. Face ABC: formada pelos pontos A(2,0,0), B(0,6,0) e C(0,0,2).
Vamos calcular o fluxo em cada uma dessas faces.

Passo 5

Fluxo na face OAC:
Primeiro, encontramos o vetor normal à face OAC. Podemos usar o produto vetorial dos vetores OA e OC:
OA = (2, 0, 0), OC = (0, 0, 2)
nOAC = OA times OC|OA times OC| = (0, -4, 0)4 = (0, -1, 0)
Agora, o fluxo:
FluxoOAC = integral dupla (rot F) cdot nOAC , dS = integral dupla (-2, 0, 1) cdot (0, -1, 0) , dS = integral dupla 0 , dS = 0

Passo 6

Fluxo na face OBC:
Encontramos o vetor normal à face OBC:
OB = (0, 6, 0), OC = (0, 0, 2)
nOBC = OB times OC|OB times OC| = (12, 0, 0)12 = (1, 0, 0)
Agora, o fluxo:
FluxoOBC = integral dupla (rot F) cdot nOBC , dS = integral dupla (-2, 0, 1) cdot (1, 0, 0) , dS = integral dupla (-2) , dS
Calculando a área da face OBC:
ÁreaOBC = 12 |OB times OC| = 12 times 12 = 6 Á
Então,
FluxoOBC = (-2) times 6 = -12

Passo 7

Fluxo na face ABC:
Primeiro, encontramos o vetor normal à face ABC:
AB = (-2, 6, 0), AC = (-2, 0, 2)
nABC = AB times AC|AB times AC| = (12, 4, 12) raiz12^2 + 4^2 + 12^2 = (12, 4, 12) raiz144 + 16 + 144 = (12, 4, 12) raiz304 = ( 12raiz304, 4raiz304, 12raiz304 )
Para simplificar, notamos que o rotacional é (-2, 0, 1). O fluxo será:
FluxoABC = integral dupla (rot F) cdot nABC , dS
Calculando o produto escalar:
(-2, 0, 1) cdot ( 12raiz304, 4raiz304, 12raiz304 ) = (-2)(12) + (0)(4) + (1)(12)raiz304 = -24 + 0 + 12raiz304 = -12raiz304
A área da face ABC pode ser calculada usando o produto vetorial:
ÁreaABC = 12 |AB times AC| = 12 times raiz304 = raiz3042 Á
Então, o fluxo é:
FluxoABC = -12raiz304 times raiz3042 = -122 = -6

Passo 8

Agora, somamos os fluxos de todas as faces laterais:
Fluxo total = FluxoOAC + FluxoOBC + FluxoABC = 0 + (-12) + (-6) = -18

Resposta

O fluxo do rotacional do campo F através da superfície S é -18.

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