Seja o tetraedro de vértices e e seja a superfície lateral de constituída pelas faces de que não estão no plano com campo normal unitário apontando para fora de . Calcule o fluxo do rotacional do campo através de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema nos pede para calcular o fluxo do rotacional do campo vetorial através da superfície lateral do tetraedro . Aqui, estamos trabalhando com conceitos de cálculo vetorial, especificamente com rotacional e fluxo. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o rotacional de um campo vetorial e depois integrar esse rotacional sobre a superfície .
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional (ou curl) do campo vetorial . O rotacional de é dado por:
Vamos calcular cada termo:
Então,
Passo 3
Agora que temos o rotacional de , precisamos calcular o fluxo desse vetor através da superfície . O fluxo é dado pela integral de superfície:
Onde é o vetor normal unitário à superfície apontando para fora. Como é composta pelas faces laterais do tetraedro , vamos calcular o fluxo em cada uma dessas faces e somar os resultados.
Passo 4
Vamos identificar as faces laterais de :
Face OAC: formada pelos pontos , e .
Face OBC: formada pelos pontos , e .
Face ABC: formada pelos pontos , e .
Vamos calcular o fluxo em cada uma dessas faces.
Passo 5
Fluxo na face OAC:
Primeiro, encontramos o vetor normal à face OAC. Podemos usar o produto vetorial dos vetores e OC:
OA = (2, 0, 0), OC = (0, 0, 2)
nOAC = OA times OC|OA times OC| = (0, -4, 0)4 = (0, -1, 0)
Agora, o fluxo:
FluxoOAC = integral dupla (rot F) cdot nOAC , dS = integral dupla (-2, 0, 1) cdot (0, -1, 0) , dS = integral dupla 0 , dS = 0
Passo 6
Fluxo na face OBC:
Encontramos o vetor normal à face OBC:
OB = (0, 6, 0), OC = (0, 0, 2)
nOBC = OB times OC|OB times OC| = (12, 0, 0)12 = (1, 0, 0)
Agora, o fluxo:
FluxoOBC = integral dupla (rot F) cdot nOBC , dS = integral dupla (-2, 0, 1) cdot (1, 0, 0) , dS = integral dupla (-2) , dS