Determine the domain and find the derivative.
f(x)=ln (ln x).

Passo 1

A função dada é f(x)=ln(ln x). O conteúdo envolve funções logarítmicas compostas e vamos precisar usar a condição de existência de logaritmo (argumento positivo) para achar o domínio e a regra da cadeia para derivar.

Passo 2

Para determinar o domínio, primeiro exigimos que o argumento interno de ln seja positivo: ln x>0. Como ln x>0 ocorre exatamente quando x>1, concluímos que o domínio de f é (1,∞).

Passo 3

Para calcular a derivada, note que f(x)=ln(u) com u=ln x. Aplicando a regra da cadeia temos f’(x)=1/u·u’. Como u’=d(ln x)/dx=1/x, obtemos f’(x)=1/(ln x)·1/x, isto é, f’(x)=1/(x·ln x).

Resposta

Domínio: (1,infty). Derivada: f'(x)=1x,ln x.

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