Determine the domain and find the derivative.
f(x)=sin (ln x).

Passo 1

O enunciado pede para a gente determinar o domínio e calcular a derivada da função f(x)=sin(ln x). O conteúdo envolve domínio de logaritmo e a regra da cadeia para derivadas, pois a gente tem uma composição de funções trigonométrica e logarítmica.

Passo 2

Para achar o domínio de f, note que ln x só está definido quando x>0. Portanto, o domínio de f é todos os valores de x tais que x>0, ou seja,
(0,infty)

Passo 3

Para calcular a derivada, vamos usar a regra da cadeia. Definimos u(x)=ln x e f(x)=sin(u(x)). Primeiro, derivada de sin(u) em relação a u é cos(u). Depois, derivada de u(x)=ln x em relação a x é 1/x. Unindo tudo:
f'(x)=cosl(ln xr)cdot1x,

Resposta

Domínio: (0,infty). Derivada: f'(x)=cos(ln x)x.

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