Questão 4 (Extra) (1,0 ponto) Derive a função f(x)=(2 x^4+3)^tan x.

Passo 1

A questão pede derivar a função f(x)=(2x^4+3)^tan x. O conteúdo envolvido é a diferenciação de funções na forma g(x)^h(x), e a técnica mais eficiente é a log-diferenciação, pois tanto a base quanto o expoente dependem de x. Vamos usar as regras de derivada de ln u, do produto e de tan x.

Passo 2

Definimos y=(2x^4+3)^tan x e aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para transformar a potência em produto:
ln y = tan x cdot lnl(2x^4+3r)

Passo 3

Agora derivamos implicitamente em relação a x. No lado esquerdo, pela regra da cadeia, fica y'/y. No direito, aplicamos a regra do produto:
y'y = ddx[tan x]cdotln(2x^4+3) + tan xcdotddx[ln(2x^4+3)]
Usamos ainda
ddx[tan x]=sec^2 x,
ddx[ln(2x^4+3)]=8x^32x^4+3

Passo 4

Para obter y', multiplicamos ambos os lados por y e substituímos y=(2x^4+3)^tan x. Assim chegamos a
y'=(2x^4+3)^tan xl[sec^2 x,ln(2x^4+3)+tan xcdot8x^32x^4+3r]

Resposta

f'(x)=(2x^4+3)^tan xl[sec^2 x,ln(2x^4+3)+8x^3tan x2x^4+3r].

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