Questão 3 ( 1,0 ponto) . A altura de um triângulo está aumentando a uma taxa de 4 cm / s enquanto sua área está aumentando a uma taxa de 15 cm^2 / s. Determine a taxa de variação da base do triângulo, quando a altura for 10 cm e a área for 100 cm^2.

Passo 1

O enunciado dá as taxas de variação da altura e da área de um triângulo: tfracdhdt=4 cm/s e tfracdAdt=15 cm^2/s, e pede a taxa de variação da base tfracdbdt quando h=10 cm e A=100 cm^2.

Passo 2

A área de um triângulo em função da base b e da altura h é dada por
A = 12 ; b ; h
Vamos usar essa relação para ligar A, b e h.

Passo 3

Diferenciando implicitamente a relação acima em relação ao tempo t, temos
dAdt = 12l(b,dhdt + h,dbdtr)
Aqui aplicamos a regra do produto e a constante tfrac12 sai da diferenciação.

Passo 4

Para calcular tfracdbdt no instante pedido, primeiro encontramos a base b usando A=100 cm^2 e h=10 cm:
b = 2Ah = 2cdot10010 = 20 cm

Passo 5

Isolando tfracdbdt na expressão de tfracdAdt e substituindo os valores de dA/dt, dh/dt, b e h, obtemos:
dbdt = 2,dAdt - b,dhdth = 2cdot15 - 20cdot410 = -5 cm/s

Resposta

A base está diminuindo à taxa de -5 cm/s.

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