Determine the domain and find the derivative.
f(x)=ln raiz[4]x^2+1.

Passo 1

O enunciado pede pra encontrar o domínio e a derivada de f(x)=lnraiz[4]x^2+1. O conteúdo aqui envolve restrição do argumento de um logaritmo e uso da regra da cadeia na derivação.

Passo 2

Para achar o domínio, lembramos que o logaritmo natural ln(u) exige u>0. Como raiz[4]x^2+1 é sempre positivo (a raiz de índice par de x^2+1, que nunca zera, dá um número estritamente positivo), não há restrição adicional. Portanto o domínio é todos os reais.

Passo 3

Uma boa estratégia é simplificar a expressão antes de derivar. Usamos a propriedade dos logaritmos: ln(u^a)=aln(u). Assim
f(x)=lnl((x^2+1)^1/4r)=tfrac14ln(x^2+1)

Passo 4

Agora aplicamos a derivada de ln(u), que é u'/u, junto com a constante 1/4. Aqui u(x)=x^2+1 e u'(x)=2x. Logo
f'(x)=tfrac14cdotu'(x)u(x)=tfrac14cdot2xx^2+1=x2,(x^2+1)

Resposta

Domínio: ( -infty,infty ). Derivada: f'(x)=x2,(x^2+1)

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