Determine the domain and find the derivative.
f(x)=ln |x+2x^3-1|.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: queremos o domínio e a derivada da função f(x)=lngl|x+2x^3-1gr|. O conteúdo envolve propriedades de logaritmo e a regra da cadeia para derivadas.

Passo 2

Para achar o domínio, lembramos que ln|u| exige uneq0. Aqui u=x+2x^3-1, então precisamos de x+2neq0 e x^3-1neq0. Assim excluímos x=-2 e x=1, obtendo (-infty,-2)cup(-2,1)cup(1,infty).

Passo 3

Para simplificar a derivação, escrevemos f(x)=ln|x+2|-ln|x^3-1|. Isso usa a propriedade ln|a/b|=ln|a|-ln|b|.

Passo 4

Aplicamos a derivada de ln|g(x)|, que é g'(x)/g(x). Logo:
f'(x)=1x+2-3x^2x^3-1.

Passo 5

Podemos juntar em um único quociente:
f'(x)=(x^3-1)-3x^2(x+2)(x+2)(x^3-1)=-2x^3-6x^2-1(x+2)(x^3-1)

Resposta

Domínio: (-infty,-2)cup(-2,1)cup(1,infty).
Derivada: f'(x)=1x+2-3x^2x^3-1=-2x^3-6x^2-1(x+2)(x^3-1)

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