determine the general solution of the given differential equation.
y^(4)-y=3 t+cos t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não\mbox{-}homogênea de quarta ordem
y^(4) - y = 3t + cos t
O conteúdo envolvido é a combinação da solução geral da parte homogênea (equação característica) com uma solução particular obtida por coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos
y^(4) - y = 0
e formamos a equação característica
r^4 - 1 = 0
As raízes são
r = pm 1, pm i
Logo a solução homogênea é
yh = C1 e^t + C2 e^-t + C3 cos t + C4 sin t

Passo 3

Procuramos uma solução particular yp1 para o termo polinomial 3t. Como y^(4) de um polinômio de grau 1 é zero, suponha
yp1 = A t + B
Então
yp1^(4) - yp1 = 0 - (A t + B) = -A t - B = 3t
Igualando coeficientes, vem
-A = 3, -B = 0Longrightarrow A = -3, B = 0,
ou seja
yp1 = -3t

Passo 4

Agora achar yp2 para o termo cos t. Como cos t já aparece na solução homogênea, há ressonância, então tentamos
yp2 = tl(Ecos t + Fsin tr)
Calculando yp2^(4) - yp2 (por diferenciação sucessiva) chega-se a
yp2^(4) - yp2 = -4Fcos t + 4Esin t = cos t
Igualando coeficientes:
-4F = 1 Rightarrow F = -tfrac14, 4E = 0 Rightarrow E = 0
Portanto
yp2 = -tfrac14,tsin t

Passo 5

A solução particular total é
yp = yp1 + yp2 = -3t - tfrac14,tsin t
Somando com a homogênea, a solução geral é
y = yh + yp

Resposta

y(t) = C1 e^t + C2 e^-t + C3cos t + C4sin t ;-;3t ;-;tfrac14,tsin t

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