determine the general solution of the given differential equation.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não\mbox{-}homogênea de quarta ordem
O conteúdo envolvido é a combinação da solução geral da parte homogênea (equação característica) com uma solução particular obtida por coeficientes indeterminados.
Passo 2
Para a parte homogênea, consideramos
e formamos a equação característica
As raízes são
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Procuramos uma solução particular
para o termo polinomial
. Como
de um polinômio de grau
é zero, suponha
Então
Igualando coeficientes, vem
ou seja
Passo 4
Agora achar
para o termo
. Como
já aparece na solução homogênea, há ressonância, então tentamos
Calculando
(por diferenciação sucessiva) chega-se a
Igualando coeficientes:
Portanto
Passo 5
A solução particular total é
Somando com a homogênea, a solução geral é