determine the general solution of the given differential equation.
y^prime prime prime+y^prime prime+y^prime+y=e^-t+4 t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de coeficientes constantes
y^primeprimeprime+y^primeprime+y^prime+y = e^-t + 4t
O conteúdo requerido é resolver a parte homogênea via equação característica e depois aplicar o método dos coeficientes a determinar para encontrar soluções particulares para e^-t e para o polinômio 4t.

Passo 2

A parte homogênea é
y^primeprimeprime+y^primeprime+y^prime+y=0
A equação característica é
r^3 + r^2 + r + 1 = 0
Fatorando por agrupamento:
r^2(r+1)+1(r+1)=(r^2+1)(r+1)=0,
logo as raízes são r=-1 e r=pm i. Assim a solução complementar é
yc = C1 e^-t + C2cos t + C3sin t

Passo 3

Para a parte não homogênea usamos superposição de duas soluções particulares:
  1. Para o termo e^-t, como r=-1 já é raiz simples da característica, tentamos yp1 = A,t,e^-t
  2. Para o termo polinomial 4t (grau 1) sem ressonância ( r=0 não é raiz), tentamos yp2 = a,t + b

Passo 4

Calculamos L[yp1]=yp1'''+yp1''+yp1'+yp1. Para yp1=Ate^-t achamos
L[yp1]=2A,e^-t
Queremos 2A,e^-t=e^-t, então
2A=1Longrightarrow A=tfrac12

Passo 5

Para yp2=a,t+b temos yp2'=a, yp2''=0, yp2'''=0, então
L[yp2]=a,t+(a+b)
Queremos a,t+(a+b)=4t+0, igualando coeficientes:
a=4, a+b=0;Longrightarrow;b=-4

Resposta

A solução geral é
y(t)=C1e^-t+C2cos t + C3sin t + t,e^-t2 + 4t -4

Exercícios relacionados