determine the general solution of the given differential equation.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de coeficientes constantes
O conteúdo requerido é resolver a parte homogênea via equação característica e depois aplicar o método dos coeficientes a determinar para encontrar soluções particulares para
e para o polinômio
.
Passo 2
A parte homogênea é
A equação característica é
Fatorando por agrupamento:
logo as raízes são
e
. Assim a solução complementar é
Passo 3
Para a parte não homogênea usamos superposição de duas soluções particulares:
- Para o termo
, como já é raiz simples da característica, tentamos - Para o termo polinomial
(grau 1) sem ressonância ( não é raiz), tentamos
Passo 4
Calculamos
. Para
achamos
Queremos
, então
Passo 5
Para
temos
,
,
, então
Queremos
, igualando coeficientes:
Resposta
A solução geral é