Questão 4. (0,7 ponto) Determine o plano tangente ao gráfico de f(x, y)=x y e^x y no ponto (0,0).

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente ao gráfico de
z = f(x,y) = x y e^x y
no ponto (0,0).
Para obter o plano tangente precisamos de f(0,0), das derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y avaliadas em (0,0), e então usar a fórmula
z = f(a,b) + fx(a,b),(x - a) + fy(a,b),(y - b),
com (a,b)=(0,0).

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
f(x,y) = x y e^x y
Usando produto e cadeia,
fx(x,y) = partialpartial xl(xyr),e^xy + xy,partialpartial xl(e^xyr) = y e^xy + xycdot e^xycdot y = y e^xy(1 + xy),
fy(x,y) = x e^xy + xycdot e^xycdot x = x e^xy(1 + xy)

Passo 3

Agora avaliamos em (0,0):
f(0,0) = 0cdot0;e^0cdot0 = 0,
fx(0,0) = 0cdot e^0(1+0) = 0, fy(0,0) = 0cdot e^0(1+0) = 0

Passo 4

Substituindo na fórmula do plano tangente em (a,b)=(0,0):
z = f(0,0) + fx(0,0),x + fy(0,0),y = 0 + 0cdot x + 0cdot y = 0

Resposta

O plano tangente é
boxedz = 0

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