determine the general solution of the given differential equation.
y^prime prime prime-y^prime=2 sin t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes e termo forçante:
y''' - y' = 2sin t
Vamos usar o método que diz que a solução geral é a soma da solução complementar (da homogênea) e de uma solução particular.

Passo 2

Para achar a solução complementar yc, resolvemos a equação característica associada à parte homogênea y''' - y' = 0:
r^3 - r = 0
r(r^2 - 1) = 0
r(r-1)(r+1)=0
Logo as raízes são r=0, r=1 e r=-1. Portanto
yc = C1 e^0cdot t + C2 e^t + C3 e^-t = C1 + C2 e^t + C3 e^-t

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp para y''' - y' = 2sin t. Como o termo forçante é 2sin t, fazemos o palpite
yp = Acos t + Bsin t,
onde A e B são constantes a determinar. (Não há ressonância pois pm i não são raízes da característica.)

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = -Asin t + Bcos t,
yp'' = -Acos t - Bsin t,
yp''' = Asin t - Bcos t
Substituindo em y''' - y':
yp''' - yp' = (Asin t - Bcos t) - (-Asin t + Bcos t) = 2Asin t - 2Bcos t
Queremos isso igual a 2sin t, ou seja,
2Asin t - 2Bcos t = 2sin t
Comparando coeficientes obtemos
2A = 2 implies A=1, -2B = 0 implies B=0
Logo
yp = cos t

Passo 5

A solução geral da equação é
y(t) = yc + yp = C1 + C2 e^t + C3 e^-t + cos t

Resposta

y(t) = C1 + C2 e^t + C3 e^-t + cos t

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