determine the general solution of the given differential equation.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes e termo forçante:
Vamos usar o método que diz que a solução geral é a soma da solução complementar (da homogênea) e de uma solução particular.
Passo 2
Para achar a solução complementar
, resolvemos a equação característica associada à parte homogênea
:
Logo as raízes são
,
e
. Portanto
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para
. Como o termo forçante é
, fazemos o palpite
onde
e
são constantes a determinar. (Não há ressonância pois
não são raízes da característica.)
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo em
:
Queremos isso igual a
, ou seja,
Comparando coeficientes obtemos
Logo
Passo 5
A solução geral da equação é