determine the general solution of the given differential equation.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial não homogênea de ordem quatro com coeficientes constantes
e pede a solução geral. Vamos usar a técnica de resolução em duas partes: primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada, depois obtemos uma particular por método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
A equação característica é
ou seja
cujas raízes são
(duas vezes),
e
. Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para a parte particular, dividimos o RHS em duas parcelas:
(polinomial de grau 2) e
.
- Como
é raiz de multiplicidade 2, o palpite para o termo polinomial deve ser multiplicado por . Então assumimos
- Como
não é raiz da característica, para tomamos
Assim
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Logo
Para igualar a
obtemos o sistema
cuja solução é
Passo 5
Agora para
temos
e assim
Igualando a
dá
, logo
Passo 6
A solução particular completa é
Somando à homogênea, a solução geral é