determine the general solution of the given differential equation.
y^(4)-4 y^prime prime=t^2+e^t

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial não homogênea de ordem quatro com coeficientes constantes
y^(4) - 4y'' = t^2 + e^t,
e pede a solução geral. Vamos usar a técnica de resolução em duas partes: primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada, depois obtemos uma particular por método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y^(4) - 4y'' = 0
A equação característica é
r^4 - 4r^2 = 0
ou seja
r^2(r^2 - 4) = 0,
cujas raízes são r=0 (duas vezes), r=2 e r=-2. Logo a solução homogênea é
yh = C1 + C2,t + C3,e^2t + C4,e^-2t

Passo 3

Para a parte particular, dividimos o RHS em duas parcelas: t^2 (polinomial de grau 2) e e^t.
  1. Como r=0 é raiz de multiplicidade 2, o palpite para o termo polinomial deve ser multiplicado por t^2. Então assumimos
yp1 = A,t^4 + B,t^3 + C,t^2
  1. Como r=1 não é raiz da característica, para e^t tomamos
yp2 = D,e^t
Assim yp = yp1 + yp2

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp1:
yp1'' = 12A,t^2 + 6B,t + 2C,
yp1^(4) = 24A
Logo
yp1^(4) - 4yp1'' = 24A - 4(12A,t^2 + 6B,t + 2C) = -48A,t^2 -24B,t + (24A - 8C)
Para igualar a t^2 obtemos o sistema
-48A = 1, -24B = 0, 24A - 8C = 0
cuja solução é
A = -tfrac148, B = 0, C = -tfrac116

Passo 5

Agora para yp2=D,e^t temos
yp2'' = D,e^t, yp2^(4) = D,e^t
e assim
yp2^(4) - 4yp2'' = D,e^t - 4D,e^t = -3D,e^t
Igualando a e^t -3D = 1, logo
D = -tfrac13

Passo 6

A solução particular completa é
yp = -tfrac148t^4 ;-; tfrac116t^2 ;-; tfrac13e^t
Somando à homogênea, a solução geral é
y = C1 + C2,t + C3,e^2t + C4,e^-2t ;-;tfrac148t^4 ;-;tfrac116t^2 ;-;tfrac13e^t

Resposta

y(t) = C1 + C2,t + C3,e^2t + C4,e^-2t -148,t^4 - 116,t^2 - 13,e^t

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