determine the general solution of the given differential equation.
y^(6)+y^prime prime prime=t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de ordem seis com coeficientes constantes
y^(6) + y^primeprimeprime = t
Para resolver, vamos primeiro obter a solução geral da parte homogênea usando a equação característica e depois achar uma solução particular pelo método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada à parte homogênea y^(6)+y^primeprimeprime=0. Substituindo y=e^rt vem
r^6 + r^3 = 0
Fatorando,
r^3,(r^3 + 1)=0

Passo 3

Das raízes de r^3(r^3+1)=0 temos
  1. r^3=0 com multiplicidade 3, isto é r=0 (três vezes).
  2. r^3=-1, cujas raízes são
r=-1, r=tfrac12 + itfracraiz32, r=tfrac12 - itfracraiz32
Logo a solução homogênea é
yh = C1 + C2,t + C3,t^2 + C4,e^-t + e^t/2l(C5cos(tfracraiz32t)+C6sin(tfracraiz32t)r)

Passo 4

Para encontrar uma solução particular yp para y^(6)+y^primeprimeprime=t, observamos que o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1 e que zero é raiz da característica de multiplicidade 3. Assim o palpite deve ser multiplicado por t^3. Tomamos
yp = A,t^4 + B,t^3

Passo 5

Calculamos as derivadas necessárias:
yp' = 4A,t^3 + 3B,t^2, yp'' = 12A,t^2 + 6B,t, yp'''=24A,t + 6B,
e
yp^(4)=24A, yp^(5)=0, yp^(6)=0
Substituindo na equação dá
yp^(6) + yp^primeprimeprime = 0 + (24A,t + 6B) = t
Comparando coeficientes de t e termo constante:
24A = 1Rightarrow A=tfrac124, 6B=0Rightarrow B=0

Passo 6

Logo a solução particular é
yp = tfrac124,t^4
A solução geral da equação dada é
y(t)=yh(t)+yp(t)

Resposta

y(t)=C1 + C2,t + C3,t^2 + C4,e^-t + e^t/2l(C5cosl(tfracraiz32tr)+C6sinl(tfracraiz32tr)r) + tfrac124,t^4

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