determine the general solution of the given differential equation.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de ordem seis com coeficientes constantes
Para resolver, vamos primeiro obter a solução geral da parte homogênea usando a equação característica e depois achar uma solução particular pelo método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada à parte homogênea
. Substituindo
vem
Fatorando,
Passo 3
Das raízes de
temos
-
com multiplicidade 3, isto é (três vezes). -
, cujas raízes são
Logo a solução homogênea é
Passo 4
Para encontrar uma solução particular
para
, observamos que o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1 e que zero é raiz da característica de multiplicidade 3. Assim o palpite deve ser multiplicado por
. Tomamos
Passo 5
Calculamos as derivadas necessárias:
e
Substituindo na equação dá
Comparando coeficientes de
e termo constante:
Passo 6
Logo a solução particular é
A solução geral da equação dada é