determine the general solution of the given differential equation.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a solução geral da EDO linear de coeficientes constantes
Para isso, vamos decompor a solução em
onde
é a solução da equação homogênea associada e
é uma solução particular da equação completa.
Passo 2
A equação homogênea é
Assumindo
, obtemos a equação característica
As raízes são
com multiplicidade 3 e
simples. Logo,
Passo 3
Para encontrar uma solução particular
de
usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo de forçamento é
, propomos
Calculamos as derivadas necessárias:
Substituindo na EDO,
Agrupando em
e
,
Passo 4
Igualando coeficientes, obtemos o sistema
Da primeira equação vem
16A=8B , ou seja
B=2A . Substituindo na segunda,
Logo,
Passo 5
A solução geral da EDO é