determine the general solution of the given differential equation.
y^(4)+y^prime prime prime=sin 2 t

Passo 1

O enunciado pede para determinar a solução geral da EDO linear de coeficientes constantes
y^(4) + y^primeprimeprime = sin 2t
Para isso, vamos decompor a solução em
y(t) = yh(t) + yp(t),
onde yh é a solução da equação homogênea associada e yp é uma solução particular da equação completa.

Passo 2

A equação homogênea é
y^(4) + y^primeprimeprime = 0
Assumindo yh=e^rt, obtemos a equação característica
r^4 + r^3 = 0
r^3,(r+1)=0
As raízes são r=0 com multiplicidade 3 e r=-1 simples. Logo,
yh(t) = C1 + C2,t + C3,t^2 + C4,e^-t

Passo 3

Para encontrar uma solução particular yp de
y^(4) + y^primeprimeprime = sin 2t,
usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo de forçamento é sin2t, propomos
yp(t) = Acos(2t) + Bsin(2t)
Calculamos as derivadas necessárias:
yp' = -2Asin(2t) + 2Bcos(2t),
yp'' = -4Acos(2t) -4Bsin(2t),
yp''' = 8Asin(2t) -8Bcos(2t),
yp^(4) = 16Acos(2t) +16Bsin(2t)
Substituindo na EDO,
yp^(4) + yp''' = l(16Acos2t +16Bsin2tr) + l(8Asin2t -8Bcos2tr)
Agrupando em cos2t e sin2t,
(,16A -8B,)cos(2t) + (,8A +16B,)sin(2t) = 0cdotcos(2t) + 1cdotsin(2t)

Passo 4

Igualando coeficientes, obtemos o sistema
16A - 8B = 0, 8A +16B = 1
Da primeira equação vem 16A=8B, ou seja B=2A. Substituindo na segunda,
8A +16(2A) = 1 Longrightarrow 40A = 1 Longrightarrow A = 140,
B = 2A = 120
Logo,
yp(t) = 140cos(2t) + 120sin(2t)

Passo 5

A solução geral da EDO é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 + C2,t + C3,t^2 + C4,e^-t + 140cos(2t) + 120sin(2t)

Resposta

y(t) = C1 + C2,t + C3,t^2 + C4,e^-t + 140cos(2t) + 120sin(2t)

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