determine the general solution of the given differential equation.
y^(4)+2 y^prime prime+y=3+cos 2 t

Passo 1

Temos a equação diferencial linear de ordem quatro com coeficientes constantes
y^(4) + 2y'' + y = 3 + cos 2t
Para resolver, vamos usar o método clássico: primeiro achamos a solução geral da equação homogênea associada e depois encontramos uma solução particular para o termo não-homogêneo 3 + cos 2t.

Passo 2

Escrevemos a equação característica da parte homogênea
r^4 + 2r^2 + 1 = 0
Note que isso é um quadrado perfeito:
(r^2 + 1)^2 = 0,
logo as raízes são
r^2 + 1 = 0 Longrightarrow r = pm i,
cada uma com multiplicidade 2.

Passo 3

Para raízes imaginárias duplas r=pm i de multiplicidade 2, a solução geral homogênea é
yh(t) = (C1 + C2,t)cos t ;+;(C3 + C4,t)sin t,
onde C1,C2,C3,C4 são constantes de integração.

Passo 4

Agora achamos uma solução particular yp para o lado direito 3 + cos2t. Começamos pelo termo constante 3. Assumimos
yp1(t) = A, A constante
Como todas as derivadas de uma constante são zero, a equação vira
A = 3Longrightarrow A = 3

Passo 5

Restou o termo cos2t. Usamos o palpite
yp2(t) = Dcos2t + Esin2t
Calculamos
y''p2 = -4Dcos2t -4Esin2t, y^(4)p2 = 16Dcos2t +16Esin2t
Substituindo em y^(4)+2y''+y obtemos
(16D -8D + D)cos2t + (16E -8E + E)sin2t = 9Dcos2t + 9Esin2t
Queremos isso igual a cos2t, logo
9D = 1, 9E = 0 Longrightarrow D = tfrac19,;E = 0
Portanto
yp2(t) = tfrac19cos2t

Passo 6

A solução particular completa é
yp(t) = yp1(t) + yp2(t) = 3 + tfrac19cos2t
Somando com a homogênea, a solução geral é
y(t) = yh(t) + yp(t) = (C1 + C2,t)cos t + (C3 + C4,t)sin t + 3 + tfrac19cos2t

Resposta

boxedy(t) = (C1 + C2,t)cos t + (C3 + C4,t)sin t + 3 + tfrac19cos2t

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