determine the general solution of the given differential equation.
Passo 1
Temos a equação diferencial linear de ordem quatro com coeficientes constantes
Para resolver, vamos usar o método clássico: primeiro achamos a solução geral da equação homogênea associada e depois encontramos uma solução particular para o termo não-homogêneo
.
Passo 2
Escrevemos a equação característica da parte homogênea
Note que isso é um quadrado perfeito:
logo as raízes são
cada uma com multiplicidade
.
Passo 3
Para raízes imaginárias duplas
de multiplicidade
, a solução geral homogênea é
onde
são constantes de integração.
Passo 4
Agora achamos uma solução particular
para o lado direito
. Começamos pelo termo constante
. Assumimos
Como todas as derivadas de uma constante são zero, a equação vira
Passo 5
Restou o termo
. Usamos o palpite
Calculamos
Substituindo em
obtemos
Queremos isso igual a
, logo
Portanto
Passo 6
A solução particular completa é
Somando com a homogênea, a solução geral é