log 5(x^2-3 x-10)=log 5(2-2 x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver
log5l(x^2-3x-10r)=log5l(2-2xr).
O conteúdo aqui é a propriedade de logaritmos de mesma base: se logaU=logaV com a>0, aneq1 e U>0, V>0, então U=V. Além disso, devemos garantir o domínio, ou seja, que ambos os argumentos sejam positivos.

Passo 2

Encontrar o domínio exigindo
x^2-3x-10>0 e 2-2x>0
Para x^2-3x-10>0 fatoramos
x^2-3x-10=(x-5)(x+2)>0
o que ocorre em x< -2 ou x>5.
Para 2-2x>0 temos
2>2x Longrightarrow x<1
Portanto o domínio comum é
x< -2

Passo 3

Como a base do logaritmo é a mesma ( 5) e ambas as expressões estão definidas, podemos igualar os argumentos:
x^2-3x-10 = 2-2x

Passo 4

Levar tudo para um lado e resolver a equação quadrática:
x^2-3x-10 -2 +2x =0 Longrightarrow x^2-x-12=0
O discriminante é De<a = (-1)^2-4cdot1cdot(-12)=1+48=49, logo as raízes são
x=1pm72,
isto é x=4 ou x=-3.

Passo 5

Verificamos quais raízes estão no domínio x< -2:
x=4(não satisfaz x< -2), x=-3(satisfaz x< -2) ã
Logo a única solução válida é x=-3.

Resposta

-3

Exercícios relacionados