Determine if the Intermediate Value Theorem holds for the given value of k.
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h(x)=\ln (2 x+1),[a, b]=[2,20], k=3

Passo 1

O enunciado dá a função
h(x) = \ln(2x + 1)
no intervalo [a,b]=[2,20] e o valor k=3. O conteúdo é o Teorema do Valor Intermediário (TVI): se uma função é contínua em [a,b] e k está entre h(a) e h(b), então existe c\in(a,b) com h\text{(c)}=k.

Passo 2

Verificamos a continuidade de h em [2,20]. A função \ln(u) é contínua para u>0, e em nosso caso u=2x+1>0 para todo x\ge2. Logo, h é contínua em [2,20].

Passo 3

Calculamos os valores nos extremos:
h(2) = \ln(2\cdot2 + 1) = \ln(5)\approx1,609
h(20) = \ln(2\cdot20 + 1) = \ln(41)\approx3,713

Passo 4

Como
\ln(5)\approx1,609 < 3 < 3,713\approx\ln(41),
o valor k=3 está estritamente entre h(2) e h(20).

Passo 5

Pelas hipóteses do TVI (continuidade em [2,20] e k entre h(a) e h(b)), existe c\in(2,20) tal que
h\text{(c)} = 3.

Passo 6

Encontramos explicitamente c resolvendo
\ln(2c+1) = 3
o que dá
2c + 1 = e^3 \quad\Longrightarrow\quad c = \frac{e^3 - 1}{2}\approx9,543,
que de fato está em (2,20).

Resposta

Sim. O TVI vale para k=3, pois 3 está entre h(2)=\ln(5) e h(20)=\ln(41), garantindo c=(e^3-1)/2\in(2,20) com h\text{(c)}=3.

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