Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de potências de em torno de . Vamos precisar usar conceitos de séries geométricas e entender como determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão de uma forma que a gente consiga ligar com a série geométrica, que tem a forma .
Passo 3
Para isso, fatoramos o denominador:
Agora, ficou mais fácil de ver a relação com a série geométrica.
Passo 4
Sabemos que a série geométrica pode ser expandida como , válida quando . No nosso caso, .
Passo 5
Substituindo na série geométrica, temos:
Multiplicando pela constante , a série completa fica:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o raio de convergência (). Como a série geométrica converge quando , temos:
Então, o raio de convergência é R = 4.
Passo 7
Com o raio de convergência determinado, o intervalo de convergência será:
(-R, R) = (-4, 4)
Resposta
A série de potências é sumn=0^infty 54^n+1 x^n+2, com raio de convergência R = 4 e intervalo de convergência I = (-4, 4). Portanto, a opção correta é: