Determine the power series for 5 x^24-x at a=0. State the radius & interval of convergence
(A) sumn=0^infty 54^n+1 x^n+2, R=14, I=(-14, 14)
(B) sumn=0^infty 54^n x^n+2, R=14, I=(-14, 14)
© sumn=0^infty 5(4)^n+1 x^n+2, R=16, I=(-16,16)
(D) sumn=0^infty 54^n+1 x^n+2, R=4, I=(-4,4)
(E) sumn=0^infty 5(-1)^n4^n x^n+2, R=4,1=(-4,4)
(F) None of the above

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de potências de 5 x^24-x em torno de a=0. Vamos precisar usar conceitos de séries geométricas e entender como determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão 5 x^24-x de uma forma que a gente consiga ligar com a série geométrica, que tem a forma 11 - r.

Passo 3

Para isso, fatoramos o denominador:
5 x^24 - x = 5 x^24 (1 - x4) = 5 x^24 cdot 11 - x4
Agora, ficou mais fácil de ver a relação com a série geométrica.

Passo 4

Sabemos que a série geométrica 11 - r pode ser expandida como sumn=0^infty r^n, válida quando |r| < 1. No nosso caso, r = x4.

Passo 5

Substituindo r na série geométrica, temos:
11 - x4 = sumn=0^infty (x4)^n
Multiplicando pela constante 5 x^24, a série completa fica:
5 x^24 cdot sumn=0^infty (x4)^n = sumn=0^infty 54^n+1 x^n+2

Passo 6

Agora, vamos encontrar o raio de convergência ( R). Como a série geométrica converge quando |r| < 1, temos:
|x4| < 1 implies |x| < 4
Então, o raio de convergência é R = 4.

Passo 7

Com o raio de convergência determinado, o intervalo de convergência será:
(-R, R) = (-4, 4)

Resposta

A série de potências é sumn=0^infty 54^n+1 x^n+2, com raio de convergência R = 4 e intervalo de convergência I = (-4, 4). Portanto, a opção correta é:
(D) sumn=0^infty 54^n+1 x^n+2, R=4, I=(-4,4)

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