Which of the following is an example of an that lim n infty an=0 but sumn=1^infty an diverges?
(A) an=1n!
(B) an=sin (pi2 n)
© an=3^-n
(D) an=tan ^-1(n)
(E) an=1raizn

Passo 1

Resumo da questão: temos várias sequências an e queremos achar um exemplo em que limntoinftyan=0 mas a série sumn=1^infty an diverge. O assunto é Séries Numéricas e vamos usar o teste da p-série e o teste de série geométrica, além da condição necessária de convergência de que limntoinftyan=0.

Passo 2

Para uma série convergir, é necessário (mas não suficiente) que limntoinftyan=0. Vamos checar esse limite em cada opção: A) an=1/n! tem limntoinfty1/n!=0. B) an=sin(pi n/2) não tem limite (cicla entre 1,0,–1,0…). C) an=3^-n tem limntoinfty3^-n=0. D) an=arctan(n) tende a pi/2neq0. E) an=1/raiz n tem limntoinfty1/raiz n=0.

Passo 3

Das opções com limite zero (A, C e E), vamos ver a convergência da série: A) sum1/n! é convergente (expansão de e). C) sum3^-n é série geométrica com razão r=1/3<1, também converge. E) sum1/raiz n é p-série com p=1/2<=1, logo diverge.

Passo 4

Somando tudo: a única sequência que tende a zero e cuja série diverge é an=1/raiz n.

Resposta

(E) an=1/raiz n

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