Quando a rotação é impedida na extremidade inferior de cada eixo, é aplicado um torque de 80 \mathrm{~N} . \mathrm{m} à extremidade A do eixo A B. Sabendo que G=77,2 GPa para ambos os eixos, determine (a) a tensão de cisalhamento máxima no eixo C D, (b) o ângulo de rotação em A.

Passo 1

O problema descreve dois eixos cilíndricos verticais, AB e CD, presos nas extremidades inferiores em B e D. Na extremidade superior de AB (ponto A) aplica-se um torque de 80 ~\mathrm{N\cdot m}. Acoplados aos eixos há duas engrenagens, de raios r_A=75 ~\mathrm{mm} (no eixo AB) e r_C=50 ~\mathrm{mm} (no eixo CD), que transmitem torque sem perdas. Os diâmetros dos eixos são d_{AB}=18 ~\mathrm{mm} e d_{CD}=15 ~\mathrm{mm}. Ambos os materiais têm módulo de cisalhamento G=77{,}2 ~\mathrm{GPa}.
a) Queremos a tensão de cisalhamento máxima em CD.
b) Queremos o ângulo de torção em A, isto é, em AB.

Passo 2

Como não há perdas no engrenamento, o torque transmitido ao eixo CD satisfaz
\frac{T_{CD}}{T_{AB}}=\frac{r_A}{r_C}.
Logo,
T_{CD}=T_{AB}\,\frac{r_A}{r_C} =80\,\mathrm{N\cdot m}\times\frac{75\,\mathrm{mm}}{50\,\mathrm{mm}} =120\,\mathrm{N\cdot m}.

Passo 3

Para um eixo circular sólido submetido a torque T, a tensão de cisalhamento máxima é
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde c=d/2 e J=\tfrac{\pi}{32}d^4. No eixo CD, d=15 ~\mathrm{mm}, logo
c=\frac{15}{2}=7{,}5\\ \mathrm{mm},\qquad J=\frac{\pi}{32}\,15^4 =\frac{\pi}{32}\times50625\approx4971\\ \mathrm{mm^4}.
Convertendo T_{CD}=120 ~\mathrm{N\cdot m}=120\times10^3 ~\mathrm{N\cdot mm},
\tau_{\max} =\frac{120\times10^3\cdot7{,}5}{4971} \approx181{,}2\\ \mathrm{N/mm^2}.

Passo 4

No eixo AB, o torque é T_{AB}=80 ~\mathrm{N\cdot m}=80\times10^3 ~\mathrm{N\cdot mm}. O diâmetro é d=18 ~\mathrm{mm}, então
J_{AB}=\frac{\pi}{32}\,18^4 =\frac{\pi}{32}\times104976\approx10285\\ \mathrm{mm^4}.

Passo 5

O ângulo de torção num eixo homogêneo de comprimento L sob torque T é
\varphi=\frac{T\,L}{G\,J}.
Aqui L=240 ~\mathrm{mm} e G=77{,}2 ~\mathrm{GPa}=77{,}2\times10^3 ~\mathrm{N/mm^2}. Assim,
\varphi =\frac{80\times10^3\cdot240}{77{,}2\times10^3\cdot10285} \approx0{,}0242\\ \mathrm{rad} \quad(\approx1{,}39^\circ).

Resposta

a) \tau_{\max}\approx181{,}2 \mathrm{MPa} no eixo CD.
b) \varphi\approx0{,}0242 \mathrm{rad} (aprox. 1{,}39^\circ).

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