4{ }^{\text {a }} Questão) (3,0) Considere a função f(x, y)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{y+x^{4}}{x^{2}+y^{2}} & \text { se } & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se } & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.. Pedimos:
a) Encontre as expressões de \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) e \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) para todos os pontos (x, y) \in \mathbb{R}^{2}-\{(0,0)\} ;
b) Encontre, caso existam, \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \frac{\partial f}{\partial y}(0,0);
c) Encontre o maior aberto \Omega \subseteq \mathbb{R}^{2} para o qual f \in \mathcal{C}^{1}(\Omega), justificando sua resposta.
e pede:
a) as expressões de \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) e \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) para (x,y)\neq(0,0);
b) as derivadas parciais em (0,0) quando existirem;
c) o maior aberto \Omega\subseteq\mathbb{R}^2 em que f\in\mathcal{C}^1(\Omega).]
Passo 2
Para (x,y)\neq(0,0) usamos a regra do quociente com
Para (x,y)\neq(0,0) a função é quociente de funções polinomiais com denominador não nulo, logo é \mathcal{C}^\infty em \{(x,y):x^2+y^2>0\}. Em (0,0) falta continuidade das derivadas. Assim o maior aberto onde f é \mathcal{C}^1 é