4{ }^{\text {a }} Questão) (3,0) Considere a função
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{y+x^{4}}{x^{2}+y^{2}} & \text { se } & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se } & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.. Pedimos:
a) Encontre as expressões de \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) e \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) para todos os pontos (x, y) \in \mathbb{R}^{2}-\{(0,0)\} ;
b) Encontre, caso existam, \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \frac{\partial f}{\partial y}(0,0);
c) Encontre o maior aberto \Omega \subseteq \mathbb{R}^{2} para o qual f \in \mathcal{C}^{1}(\Omega), justificando sua resposta.

Passo 1

O enunciado apresenta a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{y+x^{4}}{x^{2}+y^{2}},& (x,y)\neq(0,0),\\[1ex] 0,& (x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede:
a) as expressões de \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) e \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) para (x,y)\neq(0,0);
b) as derivadas parciais em (0,0) quando existirem;
c) o maior aberto \Omega\subseteq\mathbb{R}^2 em que f\in\mathcal{C}^1(\Omega).]

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0) usamos a regra do quociente com
N(x,y)=y+x^4,\quad D(x,y)=x^2+y^2.
Então
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{N_x\,D - N\,D_x}{D^2} =\frac{4x^3(x^2+y^2)-2x\,(y+x^4)}{(x^2+y^2)^2} =\frac{2x\bigl(x^4+2x^2y^2-y\bigr)}{(x^2+y^2)^2},
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{N_y\,D - N\,D_y}{D^2} =\frac{1\cdot(x^2+y^2)-2y\,(y+x^4)}{(x^2+y^2)^2} =\frac{x^2-y^2-2x^4y}{(x^2+y^2)^2}.

Passo 3

Em (0,0) definimos por limite:
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{h^2-0}{h} =0,
pois f(h,0)=\frac{h^4}{h^2}=h^2.
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\tfrac{h}{h^2}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{1/h}{h} =\lim_{h\to0}\frac1{h^2}=\infty,
logo não existe derivada parcial em y no origem.

Passo 4

Para (x,y)\neq(0,0) a função é quociente de funções polinomiais com denominador não nulo, logo é \mathcal{C}^\infty em \{(x,y):x^2+y^2>0\}. Em (0,0) falta continuidade das derivadas. Assim o maior aberto onde f é \mathcal{C}^1 é
\Omega=\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}.

Resposta

a) Para (x,y)\neq(0,0):
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{2x\bigl(x^4+2x^2y^2-y\bigr)}{(x^2+y^2)^2}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{x^2-y^2-2x^4y}{(x^2+y^2)^2}.
b) Em (0,0):
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\text{ não existe.}ã
c) \displaystyle \Omega=\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}.

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